Упр.600 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- 600. Упростите выражение (600—602): а) $$\frac{1-\cos^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}$$; б) $$\frac{\sin^2\alpha-1}{1-\cos^2\alpha}$$; в) $$\frac{2\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{1-\sin^2\alpha}$$; г) $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\operatorname{ctg}^2\alpha$$; д) $$\frac{1}{\cos^2\alpha}-1$$; е) $$1-\frac{1}{\sin^2\alpha}$$; ж) $$\frac{\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$$; з) $$\frac{\cos\alpha\cdot\sin\beta}{\sin\alpha\cdot\cos\beta}$$.
Используем тождества:
$$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$
$$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}, \qquad 1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$
$$\frac{1-\cos^2 a}{1-\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a.$$
$$\frac{\sin^2 a-1}{1-\cos^2 a}=\frac{-\cos^2 a}{\sin^2 a}=-\ctg^2 a.$$
$$\frac{2\sin a\cdot \cos a}{1-\sin^2 a}=\frac{2\sin a\cdot \cos a}{\cos^2 a}=\frac{2\sin a}{\cos a}=2\tg a.$$
$$\sin^2 a+\cos^2 a+\ctg^2 a=1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$
$$\frac{1}{\cos^2 a}-1=\left(1+\tg^2 a\right)-1=\tg^2 a.$$
$$1-\frac{1}{\sin^2 a}=1-\left(1+\ctg^2 a\right)=-\ctg^2 a.$$
$$\frac{\sin a\cdot \sin b}{\cos a\cdot \cos b}=\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\sin b}{\cos b}=\tg a\cdot \tg b.$$
$$\frac{\cos a\cdot \sin b}{\sin a\cdot \cos b}=\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\sin b}{\cos b}=\ctg a\cdot \tg b.$$
Ответ
а) $$\tg^2 a$$; б) $$-\ctg^2 a$$; в) $$2\tg a$$; г) $$\frac{1}{\sin^2 a}$$; д) $$\tg^2 a$$; е) $$-\ctg^2 a$$; ж) $$\tg a\cdot \tg b$$; з) $$\ctg a\cdot \tg b$$.
