Упр.598 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Для всех $$\alpha$$, при каждом из которых правая и левая части равенства имеют смысл, докажите справедливость равенства:
   а) $$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$;
   б) $$1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$$.

1. Докажем равенство

   $$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}.$$

   Используем формулу $$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}$$:

   $$1+\tg^2 a=1+\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\frac{\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos^2 a}.$$

   Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

   $$\frac{\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos^2 a}=\frac{1}{\cos^2 a}.$$

   Следовательно,

   $$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}.$$

2. Докажем равенство

   $$1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$

   Используем формулу $$\ctg a=\frac{\cos a}{\sin a}$$:

   $$1+\ctg^2 a=1+\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a}.$$

   Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ то

   $$\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a}=\frac{1}{\sin^2 a}.$$

   Следовательно,

   $$1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$

Ответ

$$1+\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}, \qquad 1+\ctg^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}.$$