Упр.564 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 564. Доказываем. Докажите, что если точка Аа единичной окружности соответствует некоторому рациональному числу, то она не соответствует никакому другому рациональному числу.

Пусть точке $A_\alpha$ единичной окружности соответствует рациональное число $a$. Тогда все числа, соответствующие этой же точке, имеют вид

$$a+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Предположим, что той же точке соответствует ещё одно рациональное число $b$. Тогда

$$b=a+2\pi k$$

для некоторого целого $k$.

Но разность двух рациональных чисел всегда рациональна, значит число

$$b-a$$

должно быть рациональным. С другой стороны,

$$b-a=2\pi k.$$

При $k\ne 0$ это число иррационально, так как $\pi$ — иррациональное число. Противоречие.

Следовательно, $k=0$, а значит $b=a$.

Итак, если точке единичной окружности соответствует некоторое рациональное число, то никакое другое рациональное число этой точке соответствовать не может.

Ответ

Доказано: каждой точке единичной окружности соответствует не более одного рационального числа.