Упр.564 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Докажите, что если точка $$A$$ единичной окружности соответствует некоторому рациональному числу, то она не соответствует никакому другому рациональному числу.
Пусть точке $$A_\alpha$$ единичной окружности соответствует рациональное число $$a$$. Тогда все числа, соответствующие этой же точке, имеют вид
$$a+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Предположим, что той же точке соответствует ещё одно рациональное число $$b$$. Тогда
$$b=a+2\pi k$$
для некоторого целого $$k$$.
Но разность двух рациональных чисел всегда рациональна, значит число
$$b-a$$
должно быть рациональным. С другой стороны,
$$b-a=2\pi k.$$
При $$k\ne 0$$ это число иррационально, так как $$\pi$$ — иррациональное число. Противоречие.
Следовательно, $$k=0$$, а значит $$b=a$$.
Итак, если точке единичной окружности соответствует некоторое рациональное число, то никакое другое рациональное число этой точке соответствовать не может.
Ответ
Доказано: каждой точке единичной окружности соответствует не более одного рационального числа.
