Упр.557 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 557. Выполняется ли равенство cosa = sina при каком-нибудь а? Проиллюстрируйте своё решение на рисунке.

Рассмотрим единичную окружность и прямую $$y=x.$$

На единичной окружности координаты точки, соответствующей углу $$\alpha,$$ равны $$\left(\cos \alpha,\sin \alpha\right).$$

Если $$\cos \alpha=\sin \alpha,$$ то точка должна лежать на прямой $$y=x.$$ Значит, нужно найти точки пересечения единичной окружности и прямой $$y=x.$$

Подставим $$y=x$$ в уравнение окружности:

$$x^2+y^2=1$$

$$x^2+x^2=1$$

$$2x^2=1$$

$$x^2=\frac12$$

$$x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда $$y=x,$$ значит, точки пересечения имеют координаты $$\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)$$ и $$\left(-\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

Следовательно, равенство $$\cos \alpha=\sin \alpha$$ выполняется, например, при

$$\alpha=45^\circ$$

и вообще при

$$\alpha=45^\circ+180^\circ k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

Да, выполняется. Например, при $$\alpha=45^\circ$$: $$\cos \alpha=\sin \alpha=\frac{\sqrt2}{2}.$$