Упр.555 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 555. Исследуем. Если отмечать на единичной окружности точки, соответствующие углам, радианная мера которых равна 1, 2, 3, 4, …, могут ли какие-нибудь из этих точек совпасть?

Если две точки на единичной окружности совпадают, то соответствующие им углы отличаются на число, кратное $$2\pi$$:

$$\alpha_2-\alpha_1=2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Для углов с радианными мерами $$1,2,3,4,\ldots$$ разность любых двух таких углов равна целому числу:

$$n-m,\quad n,m\in \mathbb{N}.$$

Чтобы точки совпали, эта разность должна быть равна $$2\pi k$$. Но число $$2\pi$$ иррационально, а разность натуральных чисел — всегда целое, то есть рациональное число. Поэтому равенство

$$n-m=2\pi k$$

невозможно.

Следовательно, никакие из этих точек совпасть не могут.

Ответ

Нет, не могут.