Упр.551 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) Постройте точки, симметричные точкам Аа относительно оси Ох; оси Оу; начала системы координат.
в) Определите радианную меру углов, которым соответствуют построенные точки.

На единичной окружности точке с углом $$\alpha$$ соответствуют координаты $$\bigl(\cos \alpha,\sin \alpha\bigr)$$.

Для заданных углов получаем точки:

$$A_0(1,0),\quad A_{\pi/6}\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right),\quad A_{\pi/4}\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right),$$
$$A_{\pi/3}\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad A_{\pi/2}(0,1).$$

б) При симметрии относительно оси $$Ox$$ меняется знак у ординаты, поэтому углы переходят в $$-\alpha$$ или, что то же самое на окружности, в $$2\pi-\alpha$$.

При симметрии относительно оси $$Oy$$ меняется знак у абсциссы, поэтому углы переходят в $$\pi-\alpha$$.

При симметрии относительно начала координат меняются знаки обеих координат, поэтому углы переходят в $$\alpha+\pi$$.

в) Тогда радианные меры углов для построенных точек такие:

Относительно оси $$Ox$$:
$$A_0′ = 0,\quad A_{\pi/6}’ = -\frac{\pi}{6},\quad A_{\pi/4}’ = -\frac{\pi}{4},\quad A_{\pi/3}’ = -\frac{\pi}{3},\quad A_{\pi/2}’ = -\frac{\pi}{2}.$$

Относительно оси $$Oy$$:
$$A_0» = \pi,\quad A_{\pi/6}» = \frac{5\pi}{6},\quad A_{\pi/4}» = \frac{3\pi}{4},\quad A_{\pi/3}» = \frac{2\pi}{3},\quad A_{\pi/2}» = \frac{\pi}{2}.$$

Относительно начала координат:
$$A_0»’ = \pi,\quad A_{\pi/6}»’ = \frac{7\pi}{6},\quad A_{\pi/4}»’ = \frac{5\pi}{4},\quad A_{\pi/3}»’ = \frac{4\pi}{3},\quad A_{\pi/2}»’ = \frac{3\pi}{2}.$$

Ответ

а) $$0,\ \frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{2}$$.
б) Симметричные точки получаются отражением относительно осей $$Ox$$, $$Oy$$ и начала координат.
в) $$0,\ -\frac{\pi}{6},\ -\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{3},\ -\frac{\pi}{2};\ \pi,\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{\pi}{2};\ \pi,\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{3\pi}{2}$$.