Упр.546 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Используя свойства прямоугольных треугольников, найдите: а) $$\sin 45^\circ$$; б) $$\cos \frac{\pi}{4}$$; в) $$\sin \frac{\pi}{4}$$; г) $$\cos 30^\circ$$; д) $$\sin 60^\circ$$; е) $$\cos \frac{\pi}{3}$$.

Подробный ответ

Используем свойства прямоугольного треугольника с углами $$45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$$ и $$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$$.

1) Для угла $$45^\circ$$ катеты равны, поэтому если катет равен $$a$$, то гипотенуза

$$c=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\sin 45^\circ=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\cos \frac{\pi}{4}=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$\sin \frac{\pi}{4}=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

2) Для угла $$30^\circ$$ в прямоугольном треугольнике гипотенуза вдвое больше меньшего катета. Пусть меньший катет равен $$a$$, тогда

$$c=2a,$$

а второй катет

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\cos 30^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$\sin 60^\circ=\sin 30^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$\cos \frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; в) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; г) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$; д) $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$; е) $$\frac{1}{2}$$.