Упр.515 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что:

1. а) $$7n+9$$ делится на $$8$$ для любого нечётного натурального $$n$$; б) $$3^n+7$$ делится на $$8$$ для любого чётного натурального $$n$$.

а) Докажем, что $$7^n+9$$ делится на $$8$$ при любом нечётном натуральном $$n$$.

Пусть $$n=2k+1$$, где $$k\in \mathbb{N}\cup\{0\}$$. Тогда

$$7^n+9=7^{2k+1}+9=7\cdot 49^k+9.$$

Так как $$7\equiv -1 \pmod{8}$$, то

$$7^{2k+1}\equiv (-1)^{2k+1}=-1 \pmod{8}.$$

Следовательно,

$$7^n+9\equiv -1+9=8\equiv 0 \pmod{8}.$$

Значит, $$7^n+9$$ делится на $$8$$ для любого нечётного натурального $$n$$.

б) Докажем, что $$3^n+7$$ делится на $$8$$ при любом чётном натуральном $$n$$.

Пусть $$n=2k$$, где $$k\in \mathbb{N}$$. Тогда

$$3^n+7=3^{2k}+7=(3^2)^k+7=9^k+7.$$

Так как $$3\equiv -5 \pmod{8}$$, то удобнее заметить, что

$$3^2=9\equiv 1 \pmod{8},$$

значит

$$3^{2k}\equiv 1^k=1 \pmod{8}.$$

Тогда

$$3^n+7\equiv 1+7=8\equiv 0 \pmod{8}.$$

Следовательно, $$3^n+7$$ делится на $$8$$ для любого чётного натурального $$n$$.

Ответ

а) $$7^n+9$$ делится на $$8$$ при любом нечётном натуральном $$n$$; б) $$3^n+7$$ делится на $$8$$ при любом чётном натуральном $$n$$.