Упр.514 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Докажите, что для любого натурального $$n$$:
а) $$5^n+3$$ делится на $$4$$;
б) $$7^n+5$$ делится на $$6$$;
в) $$4^n+6n-1$$ делится на $$9$$;
г) $$5^n+4n-1$$ делится на $$8$$.
а) Докажем по индукции, что $$5^n+3$$ делится на $$4$$.
При $$n=1$$:
$$5^1+3=8,$$
а $$8$$ делится на $$4$$.
Пусть для $$n=k$$ утверждение верно, то есть $$5^k+3$$ делится на $$4$$. Докажем для $$n=k+1$$:
$$5^{k+1}+3=5\cdot 5^k+3=5(5^k+3)-12.$$
Так как $$5^k+3$$ делится на $$4$$, то и $$5(5^k+3)$$ делится на $$4$$. Кроме того, $$12$$ делится на $$4$$. Значит, $$5^{k+1}+3$$ делится на $$4$$.
б) Докажем, что $$7^n+5$$ делится на $$6$$.
При $$n=1$$:
$$7^1+5=12,$$
а $$12$$ делится на $$6$$.
Пусть $$7^k+5$$ делится на $$6$$. Тогда
$$7^{k+1}+5=7\cdot 7^k+5=7(7^k+5)-30.$$
Число $$7^k+5$$ делится на $$6$$, значит, и $$7(7^k+5)$$ делится на $$6$$. Число $$30$$ также делится на $$6$$. Следовательно, $$7^{k+1}+5$$ делится на $$6$$.
в) Докажем, что $$4^n+6n-1$$ делится на $$9$$.
При $$n=1$$:
$$4^1+6\cdot 1-1=9,$$
а $$9$$ делится на $$9$$.
Пусть для $$n=k$$ выражение $$4^k+6k-1$$ делится на $$9$$. Тогда для $$n=k+1$$:
$$4^{k+1}+6(k+1)-1=4\cdot 4^k+6k+5$$
$$=4(4^k+6k-1)-9(2k-1).$$
Оба слагаемых справа делятся на $$9$$, значит, и всё выражение делится на $$9$$.
г) Докажем, что $$5^n+4n-1$$ делится на $$8$$.
При $$n=1$$:
$$5^1+4\cdot 1-1=8,$$
а $$8$$ делится на $$8$$.
Пусть для $$n=k$$ выражение $$5^k+4k-1$$ делится на $$8$$. Тогда
$$5^{k+1}+4(k+1)-1=5\cdot 5^k+4k+3$$
$$=5(5^k+4k-1)-8(2k-1).$$
Так как оба слагаемых справа делятся на $$8$$, то и $$5^{k+1}+4(k+1)-1$$ делится на $$8$$.
Ответ
а) $$5^n+3$$ делится на $$4$$; б) $$7^n+5$$ делится на $$6$$; в) $$4^n+6n-1$$ делится на $$9$$; г) $$5^n+4n-1$$ делится на $$8$$ при любом натуральном $$n$$.
