Упр.513 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1^5+2^5+3^5+…+n^5=1/12 (2n^5+6n^4+5n^4-n^2 ).

Докажем равенство методом математической индукции:

$$1^5+2^5+3^5+\dots+n^5=\frac{1}{12}\left(2n^6+6n^5+5n^4-n^2\right).$$

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$\frac{1}{12}\left(2\cdot 1^6+6\cdot 1^5+5\cdot 1^4-1^2\right)=\frac{1}{12}(2+6+5-1)=\frac{12}{12}=1=1^5.$$

2. Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^5+2^5+\dots+k^5=\frac{1}{12}\left(2k^6+6k^5+5k^4-k^2\right).$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$ \begin{aligned} 1^5+2^5+\dots+k^5+(k+1)^5 &=\frac{1}{12}\left(2k^6+6k^5+5k^4-k^2\right)+(k+1)^5 \\ &=\frac{1}{12}\left(2k^6+6k^5+5k^4-k^2+12(k+1)^5\right). \end{aligned} $$

Раскроем скобки:

$$ \begin{aligned} &2k^6+6k^5+5k^4-k^2+12(k+1)^5 \\ &=2k^6+6k^5+5k^4-k^2+12k^5+60k^4+120k^3+120k^2+60k+12 \\ &=2k^6+18k^5+65k^4+120k^3+119k^2+60k+12. \end{aligned} $$

С другой стороны,

$$ \begin{aligned} 2(k+1)^6+6(k+1)^5+5(k+1)^4-(k+1)^2 &=2k^6+18k^5+65k^4+120k^3+119k^2+60k+12. \end{aligned} $$

Значит,

$$1^5+2^5+\dots+(k+1)^5=\frac{1}{12}\left(2(k+1)^6+6(k+1)^5+5(k+1)^4-(k+1)^2\right).$$

Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$1^5+2^5+3^5+\dots+n^5=\frac{1}{12}\left(2n^6+6n^5+5n^4-n^2\right).$$