Упр.512 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача аль Каши (XIV—XVвв.). Докажите, что для любого натурального n выполняется равенство
1^4+2^4+3^4+…+n^5=1/30 (6n^5+15n^4+10n^3-n).

Докажем равенство методом математической индукции.

1. База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1^4=\frac{1}{30}(6\cdot 1^5+15\cdot 1^4+10\cdot 1^3-1)=\frac{1}{30}(6+15+10-1)=\frac{30}{30}=1.$$

2. Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^4+2^4+3^4+\dots+k^4=\frac{1}{30}(6k^5+15k^4+10k^3-k).$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$ \begin{aligned} 1^4+2^4+3^4+\dots+k^4+(k+1)^4 &=\frac{1}{30}(6k^5+15k^4+10k^3-k)+(k+1)^4 \\ &=\frac{1}{30}\bigl(6k^5+15k^4+10k^3-k+30(k+1)^4\bigr). \end{aligned} $$

Раскроем скобки:

$$ \begin{aligned} &6k^5+15k^4+10k^3-k+30(k^4+4k^3+6k^2+4k+1) \\ &=6k^5+45k^4+130k^3+180k^2+119k+30. \end{aligned} $$

С другой стороны,

$$ \begin{aligned} 6(k+1)^5+15(k+1)^4+10(k+1)^3-(k+1) &=6k^5+45k^4+130k^3+180k^2+119k+30. \end{aligned} $$

Значит,

$$ 1^4+2^4+3^4+\dots+(k+1)^4=\frac{1}{30}\bigl(6(k+1)^5+15(k+1)^4+10(k+1)^3-(k+1)\bigr). $$

Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$1^4+2^4+3^4+\dots+n^4=\frac{1}{30}(6n^5+15n^4+10n^3-n).$$