Упр.511 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача аль-Караджи (Иран, XI в.). Докажите, что для любого натурального $$n$$ выполняется равенство $$1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2$$.

Докажем равенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1^3=1=(1)^2.$$

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=(1+2+3+\dots+k)^2.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+\dots+k)^2+(k+1)^3.$$

Так как

$$1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2},$$

то

$$(1+2+3+\dots+k)^2+(k+1)^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3.$$

Преобразуем:

$$\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}.$$

Вынесем $$(k+1)^2$$ за скобки:

$$\frac{(k+1)^2\bigl(k^2+4k+4\bigr)}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2.$$

Но

$$1+2+3+\dots+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2},$$

значит

$$1^3+2^3+3^3+\dots+(k+1)^3=(1+2+3+\dots+(k+1))^2.$$

Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2.$$