Упр.511 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача аль-Караджи (Иран, XI в.). Докажите, что для любого натурального n выполняется равенство
1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+..+n)^2

Докажем равенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1^3=1=(1)^2.$$

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=(1+2+3+\dots+k)^2.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+k^3+(k+1)^3=(1+2+3+\dots+k)^2+(k+1)^3. $$

Так как

$$ 1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}, $$

то

$$ (1+2+3+\dots+k)^2+(k+1)^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3. $$

Преобразуем:

$$ \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}. $$

Вынесем $$ (k+1)^2 $$ за скобки:

$$ \frac{(k+1)^2\bigl(k^2+4k+4\bigr)}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2. $$

Но

$$ 1+2+3+\dots+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}, $$

значит

$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+(k+1)^3=(1+2+3+\dots+(k+1))^2. $$

Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2. $$