Упр.510 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1^3+2^3+3^3+…+n^3=(n^2 (n+1)^2)/4

Докажем равенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1^3=1,$$

а правая часть равна

$$\frac{1^2(1+1)^2}{4}=\frac{1\cdot 4}{4}=1.$$

Значит, при $$n=1$$ равенство верно.

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^3+2^3+3^3+\dots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}.$$

Докажем, что тогда оно верно и для $$n=k+1$$:

$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+k^3+(k+1)^3 =\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3 =\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}. $$

Вынесем $$ (k+1)^2 $$ за скобки:

$$ \frac{(k+1)^2\bigl(k^2+4(k+1)\bigr)}{4} =\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}. $$

Так как $$k^2+4k+4=(k+2)^2,$$ получаем:

$$ \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}. $$

Это и есть правая часть формулы при $$n=k+1$$.

Следовательно, если равенство верно для $$n=k$$, то оно верно и для $$n=k+1$$. По принципу математической индукции формула верна для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$