Упр.509 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любого натурального $$n$$ выполняется равенство $$1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$.

Докажем равенство по индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1^2=\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.$$

Равенство верно.

2) Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2+(k+1)^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}.$$

Вынесем $$k+1$$ за скобки:

$$\frac{(k+1)\bigl(k(2k+1)+6(k+1)\bigr)}{6} =\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$2k^2+7k+6=(2k+3)(k+2).$$

Тогда

$$1^2+2^2+3^2+\dots+k^2+(k+1)^2 =\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}.$$

Это и есть формула для $$n=k+1$$.

Следовательно, по принципу математической индукции равенство верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$