Упр.508 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 1+2+3+…+n?n^2
б) 2+4+6+…+2n < (n+1)^2 в) 2/3•4/5•6/7...•2n/(2n+1) > 1/2n
г) 1/2•3/4•5/6•…•(2n-1)/2n < 2n/(2n+1) д) 4^n > 7n-5
е) 2^n > 5n+1;n?5
ж) 1•4+2•7+3•10+…+n(3n+1)=n(n+1)^2

Подробный ответ

а) Докажем неравенство $$1+2+3+\dots+n\le n^2.$$
При $$n=1$$ имеем $$1\le 1^2,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1+2+\dots+k\le k^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$1+2+\dots+k+(k+1)\le k^2+(k+1)\le k^2+2k+1=(k+1)^2.$$
Следовательно, неравенство верно для любого натурального $$n$$.
б) Докажем неравенство $$2+4+6+\dots+2n<(n+1)^2.$$
При $$n=1$$:
$$2<4,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$2+4+\dots+2k<(k+1)^2.$$
Тогда
$$2+4+\dots+2k+2(k+1)<(k+1)^2+2(k+1)=(k+1)(k+3)<(k+2)^2.$$
Значит, неравенство верно для любого натурального $$n$$.
в) Докажем неравенство
$$\frac23\cdot\frac45\cdot\frac67\cdots\frac{2n}{2n+1}>\frac1{2n}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac23>\frac12,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$\frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2k}{2k+1}>\frac1{2k}.$$
Тогда
$$ \frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2k}{2k+1}\cdot\frac{2(k+1)}{2(k+1)+1} > \frac1{2k}\cdot\frac{2(k+1)}{2k+3} = \frac{k+1}{k(2k+3)}. $$
Так как
$$\frac{k+1}{k(2k+3)}>\frac1{2k+2}=\frac1{2(k+1)},$$
то неравенство верно для $$n=k+1$$. Следовательно, оно верно для любого натурального $$n$$.
г) Докажем неравенство
$$\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac{2n}{2n+1}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac12<\frac23,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$\frac12\cdot\frac34\cdot\dots\cdot\frac{2k-1}{2k}<\frac{2k}{2k+1}.$$
Тогда
$$ \frac12\cdot\frac34\cdot\dots\cdot\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2k+1}{2k+2} < \frac{2k}{2k+1}\cdot\frac{2k+1}{2k+2} = \frac{2k}{2k+2} = \frac{k}{k+1}. $$
А так как
$$\frac{k}{k+1}<\frac{2k+2}{2k+3}=\frac{2(k+1)}{2(k+1)+1},$$
то неравенство верно для $$n=k+1$$. Следовательно, оно верно для любого натурального $$n$$.
д) Докажем неравенство $$4^n>7n-5.$$
При $$n=1$$:
$$4>2,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$4^k>7k-5.$$
Тогда
$$4^{k+1}=4\cdot4^k>4(7k-5)=28k-20.$$
Остаётся показать, что
$$28k-20\ge 7(k+1)-5=7k+2.$$
Действительно,
$$28k-20-(7k+2)=21k-22\ge 0$$
при $$k\ge 2$$, а для $$k=1$$ неравенство уже проверено. Значит, $$4^{k+1}>7(k+1)-5$$.
Следовательно, неравенство верно для всех натуральных $$n$$.
е) Докажем неравенство $$2^n>5n+1,\quad n\ge 5.$$
При $$n=5$$:
$$2^5=32>26,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$2^k>5k+1.$$
Тогда
$$2^{k+1}=2\cdot2^k>2(5k+1)=10k+2.$$
Нужно проверить, что
$$10k+2\ge 5(k+1)+1=5k+6.$$
Имеем
$$10k+2-(5k+6)=5k-4>0$$
при $$k\ge 5$$. Значит, $$2^{k+1}>5(k+1)+1$$.
Следовательно, неравенство верно при всех $$n\ge 5$$.
ж) Докажем равенство
$$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
При $$n=1$$:
$$1\cdot4=4=1\cdot2^2,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1\cdot4+2\cdot7+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1\cdot4+2\cdot7+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1) =k(k+1)^2+(k+1)(3k+4). $$
Вынесем $$k+1$$ за скобки:
$$ k(k+1)^2+(k+1)(3k+4) =(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr) =(k+1)(k^2+4k+4) =(k+1)(k+2)^2. $$
Значит, равенство верно для $$n=k+1$$. Следовательно, оно верно для любого натурального $$n$$.