Упр.508 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Докажите методом математической индукции, что для любого натурального $$n$$ выполняется неравенство:

а) $$1+2+3+\dots+n\leq n^2$$;
б) $$2+4+6+\dots+2n<(n+1)^2$$;
в) $$\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdots\frac{2n}{2n+1}>\frac{1}{2n}$$;
г) $$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac{2n}{2n+1}$$;
д) $$4^n>7n-5$$;
е) $$2^n>5n+1$$ при $$n\geq5$$;
ж) $$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2$$.

Подробный ответ

а) Докажем неравенство $$1+2+3+\dots+n\le n^2.$$
При $$n=1$$ имеем $$1\le 1^2,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1+2+\dots+k\le k^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$1+2+\dots+k+(k+1)\le k^2+(k+1)\le k^2+2k+1=(k+1)^2.$$
Следовательно, неравенство верно для любого натурального $$n$$.
б) Докажем неравенство $$2+4+6+\dots+2n<(n+1)^2.$$
При $$n=1$$:
$$2<4,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$2+4+\dots+2k<(k+1)^2.$$
Тогда
$$2+4+\dots+2k+2(k+1)<(k+1)^2+2(k+1)=(k+1)(k+3)<(k+2)^2.$$
Значит, неравенство верно для любого натурального $$n$$.
в) Докажем неравенство
$$\frac23\cdot\frac45\cdot\frac67\cdots\frac{2n}{2n+1}>\frac1{2n}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac23>\frac12,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$\frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2k}{2k+1}>\frac1{2k}.$$
Тогда
$$\frac23\cdot\frac45\cdot\dots\cdot\frac{2k}{2k+1}\cdot\frac{2(k+1)}{2(k+1)+1} > \frac1{2k}\cdot\frac{2(k+1)}{2k+3} = \frac{k+1}{k(2k+3)}.$$
Так как
$$\frac{k+1}{k(2k+3)}>\frac1{2k+2}=\frac1{2(k+1)},$$
то неравенство верно для $$n=k+1$$. Следовательно, оно верно для любого натурального $$n$$.
г) Докажем неравенство
$$\frac12\cdot\frac34\cdot\frac56\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac{2n}{2n+1}.$$
При $$n=1$$:
$$\frac12<\frac23,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$\frac12\cdot\frac34\cdot\dots\cdot\frac{2k-1}{2k}<\frac{2k}{2k+1}.$$
Тогда
$$\frac12\cdot\frac34\cdot\dots\cdot\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2k+1}{2k+2} < \frac{2k}{2k+1}\cdot\frac{2k+1}{2k+2} = \frac{2k}{2k+2} = \frac{k}{k+1}.$$
А так как
$$\frac{k}{k+1}<\frac{2k+2}{2k+3}=\frac{2(k+1)}{2(k+1)+1},$$
то неравенство верно для $$n=k+1$$. Следовательно, оно верно для любого натурального $$n$$.
д) Докажем неравенство $$4^n>7n-5.$$
При $$n=1$$:
$$4>2,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$4^k>7k-5.$$
Тогда
$$4^{k+1}=4\cdot4^k>4(7k-5)=28k-20.$$
Остаётся показать, что
$$28k-20\ge 7(k+1)-5=7k+2.$$
Действительно,
$$28k-20-(7k+2)=21k-22\ge 0$$
при $$k\ge 2$$, а для $$k=1$$ неравенство уже проверено. Значит, $$4^{k+1}>7(k+1)-5$$.
Следовательно, неравенство верно для всех натуральных $$n$$.
е) Докажем неравенство $$2^n>5n+1,\quad n\ge 5.$$
При $$n=5$$:
$$2^5=32>26,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$2^k>5k+1.$$
Тогда
$$2^{k+1}=2\cdot2^k>2(5k+1)=10k+2.$$
Нужно проверить, что
$$10k+2\ge 5(k+1)+1=5k+6.$$
Имеем
$$10k+2-(5k+6)=5k-4>0$$
при $$k\ge 5$$. Значит, $$2^{k+1}>5(k+1)+1$$.
Следовательно, неравенство верно при всех $$n\ge 5$$.
ж) Докажем равенство
$$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
При $$n=1$$:
$$1\cdot4=4=1\cdot2^2,$$ верно.
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1\cdot4+2\cdot7+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$1\cdot4+2\cdot7+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1) =k(k+1)^2+(k+1)(3k+4).$$
Вынесем $$k+1$$ за скобки:
$$k(k+1)^2+(k+1)(3k+4) =(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr) =(k+1)(k^2+4k+4) =(k+1)(k+2)^2.$$
Значит, равенство верно для $$n=k+1$$. Следовательно, оно верно для любого натурального $$n$$.