Упр.507 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 1 + 2 + 3 + … + n = ((n+1)^n)/2;
б) 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1);
в) 1 + 3 + 5 + … + (2n — 1) = n^2;
г) 3 + 12 + … + 3 • 4^(n-1) = 4^n — 1;
д) 4 + О + … + 4 • (2 — n) = 2n(3 — n);
е) 1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3.
ж) 1 • 4 + 2 • 7 + 3 • 10 + … + n(3n + 1) = n(n + 1)^2.

Подробный ответ

а) Докажем, что $$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
При $$n=1$$ имеем:
$$\frac{1\cdot(1+1)}{2}=1.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)= $$
$$ =\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}. $$
Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.
б) Докажем, что $$2+4+6+\dots+2n=n(n+1).$$
При $$n=1$$:
$$2=1\cdot(1+1).$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$2+4+\dots+2k=k(k+1).$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 2+4+\dots+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)= $$
$$ =(k+1)(k+2). $$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
в) Докажем, что $$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2.$$
При $$n=1$$:
$$1=1^2.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 1+3+\dots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2. $$
Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.
г) Докажем, что $$3+12+\dots+3\cdot 4^{\,n-1}=4^n-1.$$
При $$n=1$$:
$$3=4^1-1.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$3+12+\dots+3\cdot 4^{k-1}=4^k-1.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 3+12+\dots+3\cdot 4^{k-1}+3\cdot 4^k=(4^k-1)+3\cdot 4^k= $$
$$ =4\cdot 4^k-1=4^{k+1}-1. $$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
д) Докажем, что $$4+0+\dots+4(2-n)=2n(3-n).$$
При $$n=1$$:
$$4=2\cdot 1\cdot(3-1).$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$4+0+\dots+4(2-k)=2k(3-k).$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ 2k(3-k)+4(2-(k+1))=2k(3-k)+4(1-k)= $$
$$ =6k-2k^2+4-4k=-2k^2+2k+4=2(k+1)(2-k). $$
А это и есть
$$2(k+1)\bigl(3-(k+1)\bigr).$$
Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.
е) Докажем, что $$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$
При $$n=1$$:
$$1\cdot 2=2=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ \frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)= $$
$$ =\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3} =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}. $$
Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.
ж) Докажем, что $$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
При $$n=1$$:
$$1\cdot 4=4=1\cdot(1+1)^2.$$
Пусть для $$n=k$$ верно:
$$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.$$
Тогда для $$n=k+1$$:
$$ k(k+1)^2+(k+1)\bigl(3(k+1)+1\bigr)= $$
$$ =k(k+1)^2+(k+1)(3k+4) =(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr) $$
$$ =(k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2. $$
То есть
$$S_{k+1}=(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)^2.$$
Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.