Упр.507 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите методом математической индукции, что для любого натурального $$n$$ выполняется равенство:

• а) $$1+2+3+\ldots+n=\frac{(n+1)^n}{2}$$;
• б) $$2+4+6+\ldots+2n=n(n+1)$$;
• в) $$1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2$$;
• г) $$3+12+\ldots+3\cdot4^{n-1}=4^n-1$$;
• д) $$4+\text{О}+\ldots+4\cdot(2-n)=2n(3-n)$$;
• е) $$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\ldots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$;
• ж) $$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2$$.

1. а) Докажем, что $$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

   При $$n=1$$ имеем:

   $$\frac{1\cdot(1+1)}{2}=1.$$

   Пусть для $$n=k$$ верно:

   $$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}.$$

   Тогда для $$n=k+1$$:

   $$1+2+\dots+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=$$
   $$=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$

   Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.

2. б) Докажем, что $$2+4+6+\dots+2n=n(n+1).$$

   При $$n=1$$:

   $$2=1\cdot(1+1).$$

   Пусть для $$n=k$$ верно:

   $$2+4+\dots+2k=k(k+1).$$

   Тогда для $$n=k+1$$:

   $$2+4+\dots+2k+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1)=$$
   $$=(k+1)(k+2).$$

   Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.

3. в) Докажем, что $$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2.$$

   При $$n=1$$:

   $$1=1^2.$$

   Пусть для $$n=k$$ верно:

   $$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2.$$

   Тогда для $$n=k+1$$:

   $$1+3+\dots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2.$$

   Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.

4. г) Докажем, что $$3+12+\dots+3\cdot 4^{\,n-1}=4^n-1.$$

   При $$n=1$$:

   $$3=4^1-1.$$

   Пусть для $$n=k$$ верно:

   $$3+12+\dots+3\cdot 4^{k-1}=4^k-1.$$

   Тогда для $$n=k+1$$:

   $$3+12+\dots+3\cdot 4^{k-1}+3\cdot 4^k=(4^k-1)+3\cdot 4^k=$$
   $$=4\cdot 4^k-1=4^{k+1}-1.$$

   Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.

5. д) Докажем, что $$4+0+\dots+4(2-n)=2n(3-n).$$

   При $$n=1$$:

   $$4=2\cdot 1\cdot(3-1).$$

   Пусть для $$n=k$$ верно:

   $$4+0+\dots+4(2-k)=2k(3-k).$$

   Тогда для $$n=k+1$$:

   $$2k(3-k)+4(2-(k+1))=2k(3-k)+4(1-k)=$$
   $$=6k-2k^2+4-4k=-2k^2+2k+4=2(k+1)(2-k).$$

   А это и есть

   $$2(k+1)\bigl(3-(k+1)\bigr).$$

   Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.

6. е) Докажем, что $$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$

   При $$n=1$$:

   $$1\cdot 2=2=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{3}.$$

   Пусть для $$n=k$$ верно:

   $$1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$$

   Тогда для $$n=k+1$$:

   $$\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=$$
   $$=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3} =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}.$$

   Следовательно, равенство верно для любого натурального $$n$$.

7. ж) Докажем, что $$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$

   При $$n=1$$:

   $$1\cdot 4=4=1\cdot(1+1)^2.$$

   Пусть для $$n=k$$ верно:

   $$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.$$

   Тогда для $$n=k+1$$:

   $$k(k+1)^2+(k+1)\bigl(3(k+1)+1\bigr)=$$
   $$=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4) =(k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr)$$
   $$=(k+1)(k^2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2.$$

   То есть

   $$S_{k+1}=(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)^2.$$

   Значит, формула верна для любого натурального $$n$$.

Ответ

Все равенства доказаны методом математической индукции.