Упр.506 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) общий член геометрической прогрессии вычисляется по формуле а^n = а1 • q^(n-1)
б) сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sn = ((2a1+(n-1)d)/2)*n.

а) Докажем по индукции формулу общего члена геометрической прогрессии:

$$a_n=a_1q^{n-1}.$$

База индукции: при $$n=1$$ имеем

$$a_1=a_1q^0=a_1.$$

Формула верна.

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$a_k=a_1q^{k-1}.$$

Тогда для $$n=k+1$$

$$a_{k+1}=a_kq=a_1q^{k-1}\cdot q=a_1q^k.$$

Значит, формула верна и для $$k+1$$. Следовательно, по принципу математической индукции

$$a_n=a_1q^{n-1}.$$

б) Докажем по индукции формулу суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

База индукции: при $$n=1$$

$$S_1=\frac{2a_1+(1-1)d}{2}\cdot 1=\frac{2a_1}{2}=a_1.$$

Формула верна.

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$S_k=\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k.$$

Тогда

$$ S_{k+1}=S_k+a_{k+1} =\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k+\bigl(a_1+kd\bigr). $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ S_{k+1} =\frac{k\bigl(2a_1+(k-1)d\bigr)+2a_1+2kd}{2} =\frac{2a_1(k+1)+d(k^2+k)}{2}. $$

Так как $$k^2+k=k(k+1)$$, получаем

$$ S_{k+1} =\frac{2a_1+(k)d}{2}\cdot (k+1). $$

То есть

$$ S_{k+1}=\frac{2a_1+\bigl((k+1)-1\bigr)d}{2}\cdot (k+1). $$

Следовательно, формула верна и для $$k+1$$. По принципу математической индукции

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

Ответ

$$a_n=a_1q^{n-1},\qquad S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$