Упр.505 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) а^n > О для любого чётного натурального n;
б) а^n < О для любого нечётного натурального n.
Докажем утверждения по индукции, используя свойство степеней:
$$a^{m+n}=a^m\cdot a^n.$$
а) Докажем, что $$a^n>0$$ при чётном натуральном $$n$$.
База индукции: при $$n=2$$ имеем
$$a^2>0,$$
так как квадрат любого ненулевого числа положителен, а $$a<0$$.
Переход индукции: пусть для некоторого чётного $$n=k$$ верно, что
$$a^k>0.$$
Тогда при $$n=k+2$$ получаем
$$a^{k+2}=a^k\cdot a^2.$$
Так как $$a^k>0$$ и $$a^2>0$$, то
$$a^{k+2}>0.$$
Следовательно, по принципу математической индукции $$a^n>0$$ для любого чётного натурального $$n$$.
б) Докажем, что $$a^n<0$$ при нечётном натуральном $$n$$.
База индукции: при $$n=1$$ имеем
$$a^1=a<0.$$
Переход индукции: пусть для некоторого нечётного $$n=k$$ верно, что
$$a^k<0.$$
Тогда при $$n=k+2$$ получаем
$$a^{k+2}=a^k\cdot a^2.$$
Так как $$a^k<0$$, а $$a^2>0$$, то
$$a^{k+2}<0.$$
Значит, по принципу математической индукции $$a^n<0$$ для любого нечётного натурального $$n$$.
Ответ
а) $$a^n>0$$ при чётном натуральном $$n$$; б) $$a^n<0$$ при нечётном натуральном $$n$$.
