Упр.504 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

504. Докажите методом математической индукции равенство: а) a^n b^n=(ab)^n
б) (a^n )^m=a^mn

а) Докажем равенство $$a^n b^n=(ab)^n$$ методом математической индукции.

База индукции: при $$n=1$$ имеем

$$a^1b^1=ab=(ab)^1.$$

Индукционный переход: пусть для некоторого $$n=k$$ верно

$$a^k b^k=(ab)^k.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$ a^{k+1}b^{k+1}=a^k\cdot a\cdot b^k\cdot b = a^k b^k \cdot ab = (ab)^k \cdot ab = (ab)^{k+1}. $$

Следовательно, $$a^n b^n=(ab)^n$$ верно при любом натуральном $$n$$.

б) Докажем равенство $$\left(a^n\right)^m=a^{mn}$$ методом математической индукции по $$n$$.

База индукции: при $$n=1$$

$$\left(a^1\right)^m=a^m=a^{m\cdot 1}.$$

Индукционный переход: пусть для $$n=k$$ верно

$$\left(a^k\right)^m=a^{mk}.$$

Докажем для $$n=k+1$$:

$$ \left(a^{k+1}\right)^m=\left(a^k\cdot a\right)^m =\left(a^k\right)^m\cdot a^m =a^{mk}\cdot a^m =a^{mk+m} =a^{m(k+1)}. $$

Значит, $$\left(a^n\right)^m=a^{mn}$$ верно при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$a^n b^n=(ab)^n,\qquad \left(a^n\right)^m=a^{mn}.$$