Упр.503 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) Объясните, как доказывают утверждения методом математической индукции, на примере доказательства равенства 1^n = 1 для любого натурального n.

а) Принцип математической индукции состоит в следующем: если некоторое утверждение, зависящее от натурального числа $$n$$,

• верно при $$n=1$$;
• и из предположения, что оно верно при $$n=k$$, следует, что оно верно при $$n=k+1$$,

то это утверждение верно для любого натурального $$n$$.

б) Докажем равенство $$1^n=1$$ для любого натурального $$n$$ методом математической индукции.

1) При $$n=1$$ имеем:

$$1^1=1.$$

2) Предположим, что для некоторого $$k\in \mathbb{N}$$ верно:

$$1^k=1.$$

Тогда для $$k+1$$ получаем:

$$1^{k+1}=1^k\cdot 1=1\cdot 1=1.$$

Следовательно, по принципу математической индукции равенство $$1^n=1$$ верно для любого натурального $$n$$.

Ответ

а) Если утверждение верно при $$n=1$$ и из его верности при $$n=k$$ следует верность при $$n=k+1$$, то оно верно для всех натуральных $$n$$.

б) $$1^1=1$$, а из $$1^k=1$$ следует $$1^{k+1}=1^k\cdot 1=1$$. Значит, $$1^n=1$$ для любого $$n\in\mathbb{N}$$.