Упр.502 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Дан острый угол, величина которого равна $$a$$. На его стороне на расстоянии $$l$$ от вершины отметили точку $$A_1$$. Из неё провели перпендикуляр $$A_1A_2$$ ко второй стороне угла, из точки $$A_2$$ провели перпендикуляр $$A_2A_3$$ к первой стороне и т. д. Получилась ломаная с бесконечным числом звеньев. Вычислите её длину, если:

а) $$l=1\ \text{м}$$, $$a=45^\circ$$;

б) $$l=1\ \text{м}$$, $$a=30^\circ$$.

Подробный ответ

Длины звеньев ломаной образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Первое звено:

$$a_1=l\sin\alpha.$$

Знаменатель прогрессии:

$$q=\cos\alpha.$$

Тогда сумма всех звеньев равна

$$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{l\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.$$

Подставим данные.

а) $$l=1\text{ м},\ \alpha=45^\circ$$

$$S=\frac{1\cdot \sin45^\circ}{1-\cos45^\circ} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{1-\frac{\sqrt2}{2}} =\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{2-\sqrt2}{2}} =\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$S=\frac{\sqrt2}{2-\sqrt2}\cdot \frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2} =\frac{\sqrt2(2+\sqrt2)}{4-2} =\frac{2\sqrt2+2}{2} =\sqrt2+1.$$

б) $$l=1\text{ м},\ \alpha=30^\circ$$

$$S=\frac{1\cdot \sin30^\circ}{1-\cos30^\circ} =\frac{\frac12}{1-\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{\frac12}{\frac{2-\sqrt3}{2}} =\frac{1}{2-\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$S=\frac{1}{2-\sqrt3}\cdot \frac{2+\sqrt3}{2+\sqrt3} =\frac{2+\sqrt3}{4-3} =2+\sqrt3.$$