Упр.501 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (v3+1)/(v3-1);1;(v3-1)/(v3+1);…
б) (v2+1)/(v2-1);1;(v2-1)/(v2+1);…

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии используем формулу суммы:

$$S=\frac{a_1}{1-q},$$

где $$a_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — знаменатель прогрессии.

1. а) $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1};\ 1;\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1};\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.$$

   Тогда

   $$ S=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}} =\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}{\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2}. $$

   $$ S=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2(\sqrt{3}-1)} =\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2(\sqrt{3}-1)} =\frac{4+2\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)} =\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}. $$

   Рационализуем знаменатель:

   $$ S=\frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} =\frac{5+3\sqrt{3}}{2}. $$

2. б) $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1};\ 1;\ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1};\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}.$$

   Тогда

   $$ S=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}{1-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} =\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}{\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}} =\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{2}. $$

   $$ S=\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2(\sqrt{2}-1)} =\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2(\sqrt{2}-1)} =\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}. $$

Ответ

а) $$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}$$.