Упр.501 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
   а) $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1};\ 1;\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1};\ \ldots$$
   б) $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1};\ 1;\ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1};\ \ldots$$

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии используем формулу суммы:

$$S=\frac{a_1}{1-q},$$

где $$a_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — знаменатель прогрессии.

1. а) $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1};\ 1;\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1};\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}} =\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}{\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2}.$$

   $$S=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2(\sqrt{3}-1)} =\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2(\sqrt{3}-1)} =\frac{4+2\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}-1)} =\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$S=\frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} =\frac{5+3\sqrt{3}}{2}.$$

2. б) $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1};\ 1;\ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1};\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}.$$

   Тогда

   $$S=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}{1-\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} =\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}{\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}} =\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{2}.$$

   $$S=\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2(\sqrt{2}-1)} =\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2(\sqrt{2}-1)} =\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}.$$

Ответ

а) $$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\frac{3+2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}$$.