Упр.500 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$\{a_n\}$$, имеющей сумму $$S$$, выполняется равенство $$\frac{S}{S-a_1}=\frac{a_1}{a_2}$$.

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$a_2=a_1q,$$ а сумма равна

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Тогда

$$\frac{S}{S-a_1} = \frac{\frac{a_1}{1-q}}{\frac{a_1}{1-q}-a_1} = \frac{\frac{a_1}{1-q}}{\frac{a_1-a_1(1-q)}{1-q}} = \frac{\frac{a_1}{1-q}}{\frac{a_1q}{1-q}} = \frac{a_1}{a_1q}.$$

Так как $$a_2=a_1q,$$ то

$$\frac{a_1}{a_1q}=\frac{a_1}{a_2}.$$

Следовательно,

$$\frac{S}{S-a_1}=\frac{a_1}{a_2},$$

что и требовалось доказать.

Ответ

$$\frac{S}{S-a_1}=\frac{a_1}{a_2}.$$