Упр.5 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

2) Упростите выражение 2m-(m-4)/(m^2+8m+16):1/(16-m^2).
3) Решите систему уравнений графическим способом:
{(x+y=5, 3x-y=1).
4) Решите систему уравнений {(2/x+1/y=1, x-y=2).

1. Вычислим значение выражения:

   $$\frac{12{,}8\cdot 3\frac{3}{4}-4\frac{4}{11}\cdot 4{,}125}{2\frac{4}{7}:\frac{3}{35}}$$

   Преобразуем числа:

   $$12{,}8=\frac{128}{10},\quad 3\frac{3}{4}=\frac{15}{4},\quad 4\frac{4}{11}=\frac{48}{11},\quad 4{,}125=\frac{33}{8},\quad 2\frac{4}{7}=\frac{18}{7}.$$

   Тогда

   $$\frac{\frac{128}{10}\cdot \frac{15}{4}-\frac{48}{11}\cdot \frac{33}{8}}{\frac{18}{7}:\frac{3}{35}}= \frac{\frac{64}{5}\cdot \frac{15}{4}-\frac{48}{11}\cdot \frac{33}{8}}{\frac{18}{7}\cdot \frac{35}{3}}.$$

   Вычислим:

   $$\frac{64}{5}\cdot \frac{15}{4}=48,\qquad \frac{48}{11}\cdot \frac{33}{8}=18,\qquad \frac{18}{7}\cdot \frac{35}{3}=30.$$

   Следовательно,

   $$\frac{48-18}{30}=\frac{30}{30}=1.$$

2. Упростим выражение:

   $$2m-\frac{m-4}{m^2+8m+16}:\frac{1}{16-m^2}.$$

   Разложим на множители:

   $$m^2+8m+16=(m+4)^2,\qquad 16-m^2=(4-m)(4+m)=-(m-4)(m+4).$$

   Тогда

   $$\frac{m-4}{(m+4)^2}:\frac{1}{16-m^2}=\frac{m-4}{(m+4)^2}\cdot (16-m^2).$$

   Подставим разложение:

   $$\frac{m-4}{(m+4)^2}\cdot (16-m^2)=\frac{m-4}{(m+4)^2}\cdot (4-m)(4+m)=-\frac{(m-4)^2}{m+4}.$$

   Тогда всё выражение равно

   $$2m+\frac{(m-4)^2}{m+4}=\frac{2m(m+4)+(m-4)^2}{m+4}.$$

   Раскроем скобки:

   $$\frac{2m^2+8m+m^2-8m+16}{m+4}=\frac{3m^2+16}{m+4}.$$

3. Решим систему графическим способом:

   $$\begin{cases} x+y=5,\\ 3x-y=1. \end{cases}$$

   Приведём к виду функций:

   $$y=5-x,\qquad y=3x-1.$$

   Точка пересечения графиков этих прямых имеет координаты $$x=1{,}5,\ y=3{,}5.$$

4. Решим систему:

   $$\begin{cases} \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1,\\ x-y=2. \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$y=x-2.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{2}{x}+\frac{1}{x-2}=1.$$

   Умножим на $$x(x-2)$$:

   $$2(x-2)+x=x(x-2).$$

   Получаем:

   $$2x-4+x=x^2-2x,$$
   $$x^2-5x+4=0,$$
   $$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0.$$

   Отсюда $$x=1$$ или $$x=4.$$

   Тогда

   $$x=1 \Rightarrow y=1-2=-1,$$
   $$x=4 \Rightarrow y=4-2=2.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\frac{3m^2+16}{m+4}$$; 3) $$\left(1{,}5;\ 3{,}5\right)$$; 4) $$\left(1;\ -1\right),\ \left(4;\ 2\right)$$.