Упр.5 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ система неравенств:

а) $$\begin{cases} 9x-5a>3ax+2,\\ 6x+2a<2ax-7; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 6x-2a>3ax+13,\\ 4x+4a<2ax-5 \end{cases}$$

не имеет решений?

а)

Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 9x-5a>3ax+2,\\ 6x+2a<2ax-7. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$9x-5a>3ax+2$$

$$9x-3ax>5a+2$$

$$3x(3-a)>5a+2.$$

Второе неравенство:

$$6x+2a<2ax-7$$

$$6x-2ax<-2a-7$$

$$2x(3-a)<-2a-7.$$

Если $$a<3$$, то после деления на положительное число $$3-a$$ получаем:

$$x>\frac{5a+2}{3(3-a)}, \qquad x<\frac{-2a-7}{2(3-a)}.$$

Чтобы система не имела решений, нужно, чтобы левая граница была не меньше правой:

$$\frac{5a+2}{3(3-a)}\ge \frac{-2a-7}{2(3-a)}.$$

Так как $$3-a>0$$, умножаем на $$6(3-a)$$:

$$2(5a+2)\ge 3(-2a-7)$$

$$10a+4\ge -6a-21$$

$$16a\ge -25$$

$$a\ge -\frac{25}{16}.$$

Если $$a>3$$, то при делении на отрицательное число $$3-a$$ знак неравенства меняется, и получаем:

$$x<\frac{5a+2}{3(3-a)}, \qquad x>\frac{-2a-7}{2(3-a)}.$$

Для отсутствия решений нужно:

$$\frac{-2a-7}{2(3-a)}\ge \frac{5a+2}{3(3-a)}.$$

Умножая на $$6(3-a)<0$$, меняем знак:

$$3(-2a-7)\le 2(5a+2)$$

$$-6a-21\le 10a+4$$

$$16a\ge -25.$$

Это условие совпадает с предыдущим. При $$a=3$$ система решений не имеет, так как получаются противоречивые неравенства.

Следовательно, для пункта а) система не имеет решений при

$$a\ge -\frac{25}{16}.$$

б)

Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 6x-2a>3ax+13,\\ 4x+4a<2ax-5. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$6x-2a>3ax+13$$

$$6x-3ax>2a+13$$

$$3x(2-a)>2a+13.$$

Второе неравенство:

$$4x+4a<2ax-5$$

$$4x-2ax<-4a-5$$

$$2x(2-a)<-4a-5.$$

Если $$a<2$$, то

$$x>\frac{2a+13}{3(2-a)}, \qquad x<\frac{-4a-5}{2(2-a)}.$$

Для отсутствия решений нужно:

$$\frac{2a+13}{3(2-a)}\ge \frac{-4a-5}{2(2-a)}.$$

Так как $$2-a>0$$, умножаем на $$6(2-a)$$:

$$2(2a+13)\ge 3(-4a-5)$$

$$4a+26\ge -12a-15$$

$$16a\ge -41$$

$$a\ge -\frac{41}{16}.$$

Если $$a>2$$, то знак неравенства при делении на $$2-a<0$$ меняется, и получаем:

$$x<\frac{2a+13}{3(2-a)}, \qquad x>\frac{-4a-5}{2(2-a)}.$$

Для отсутствия решений нужно:

$$\frac{-4a-5}{2(2-a)}\ge \frac{2a+13}{3(2-a)}.$$

Умножая на $$6(2-a)<0$$, меняем знак:

$$3(-4a-5)\le 2(2a+13)$$

$$-12a-15\le 4a+26$$

$$16a\ge -41.$$

При $$a=2$$ система также не имеет решений.

Итак, для пункта б) система не имеет решений при

$$a\ge -\frac{41}{16}.$$

Ответ

а) $$a\in\left[-\frac{25}{16};+\infty\right)$$; б) $$a\in\left[-\frac{41}{16};+\infty\right)$$.