Упр.5 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) {(9x-5a > 3ax+2, 6x+2a < 2ax-7); б) {(6x-2a > 3ax+13, 4x+4a < 2ax-5) не имеет решений?

а)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 9x-5a>3ax+2,\\ 6x+2a<2ax-7. \end{cases} $$

Первое неравенство:

$$ 9x-5a>3ax+2 $$

$$ 9x-3ax>5a+2 $$

$$ 3x(3-a)>5a+2. $$

Второе неравенство:

$$ 6x+2a<2ax-7 $$

$$ 6x-2ax<-2a-7 $$

$$ 2x(3-a)<-2a-7. $$

Если $$a<3$$, то после деления на положительное число $$3-a$$ получаем:

$$ x>\frac{5a+2}{3(3-a)}, \qquad x<\frac{-2a-7}{2(3-a)}. $$

Чтобы система не имела решений, нужно, чтобы левая граница была не меньше правой:

$$ \frac{5a+2}{3(3-a)}\ge \frac{-2a-7}{2(3-a)}. $$

Так как $$3-a>0$$, умножаем на $$6(3-a)$$:

$$ 2(5a+2)\ge 3(-2a-7) $$

$$ 10a+4\ge -6a-21 $$

$$ 16a\ge -25 $$

$$ a\ge -\frac{25}{16}. $$

Если $$a>3$$, то при делении на отрицательное число $$3-a$$ знак неравенства меняется, и получаем:

$$ x<\frac{5a+2}{3(3-a)}, \qquad x>\frac{-2a-7}{2(3-a)}. $$

Для отсутствия решений нужно:

$$ \frac{-2a-7}{2(3-a)}\ge \frac{5a+2}{3(3-a)}. $$

Умножая на $$6(3-a)<0$$, меняем знак:

$$ 3(-2a-7)\le 2(5a+2) $$

$$ -6a-21\le 10a+4 $$

$$ 16a\ge -25. $$

Это условие совпадает с предыдущим. При $$a=3$$ система решений не имеет, так как получаются противоречивые неравенства.

Следовательно, для пункта а) система не имеет решений при

$$ a\ge -\frac{25}{16}. $$

б)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 6x-2a>3ax+13,\\ 4x+4a<2ax-5. \end{cases} $$

Первое неравенство:

$$ 6x-2a>3ax+13 $$

$$ 6x-3ax>2a+13 $$

$$ 3x(2-a)>2a+13. $$

Второе неравенство:

$$ 4x+4a<2ax-5 $$

$$ 4x-2ax<-4a-5 $$

$$ 2x(2-a)<-4a-5. $$

Если $$a<2$$, то

$$ x>\frac{2a+13}{3(2-a)}, \qquad x<\frac{-4a-5}{2(2-a)}. $$

Для отсутствия решений нужно:

$$ \frac{2a+13}{3(2-a)}\ge \frac{-4a-5}{2(2-a)}. $$

Так как $$2-a>0$$, умножаем на $$6(2-a)$$:

$$ 2(2a+13)\ge 3(-4a-5) $$

$$ 4a+26\ge -12a-15 $$

$$ 16a\ge -41 $$

$$ a\ge -\frac{41}{16}. $$

Если $$a>2$$, то знак неравенства при делении на $$2-a<0$$ меняется, и получаем:

$$ x<\frac{2a+13}{3(2-a)}, \qquad x>\frac{-4a-5}{2(2-a)}. $$

Для отсутствия решений нужно:

$$ \frac{-4a-5}{2(2-a)}\ge \frac{2a+13}{3(2-a)}. $$

Умножая на $$6(2-a)<0$$, меняем знак:

$$ 3(-4a-5)\le 2(2a+13) $$

$$ -12a-15\le 4a+26 $$

$$ 16a\ge -41. $$

При $$a=2$$ система также не имеет решений.

Итак, для пункта б) система не имеет решений при

$$ a\ge -\frac{41}{16}. $$

Ответ

а) $$a\in\left[-\frac{25}{16};+\infty\right)$$; б) $$a\in\left[-\frac{41}{16};+\infty\right)$$.