Упр.499 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Обратите в обыкновенную дробь бесконечную периодическую десятичную дробь:
а) 0,(3); б) 0,(8); в) 0,(5);
г) 0,(13); д) 0,(27); е) 0,(45);
ж) 0,(123); з) 0,(456); и) 0,(1999);
к) 0,5(7); л) 0,23(8); м) 0,2(38).
Для чистой периодической дроби используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}$$
где $$b_1$$ — первый период, $$q$$ — знаменатель прогрессии.
а) $$0,(3)=0,3+0,03+0,003+\dots$$
$$b_1=0,3,\quad q=0,1$$
$$0,(3)=\frac{0,3}{1-0,1}=\frac{0,3}{0,9}=\frac{1}{3}$$
б) $$0,(8)=0,8+0,08+0,008+\dots$$
$$b_1=0,8,\quad q=0,1$$
$$0,(8)=\frac{0,8}{1-0,1}=\frac{0,8}{0,9}=\frac{8}{9}$$
в) $$0,(5)=0,5+0,05+0,005+\dots$$
$$b_1=0,5,\quad q=0,1$$
$$0,(5)=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}$$
г) $$0,(13)=0,13+0,0013+0,000013+\dots$$
$$b_1=0,13,\quad q=0,01$$
$$0,(13)=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{0,13}{0,99}=\frac{13}{99}$$
д) $$0,(27)=0,27+0,0027+0,000027+\dots$$
$$b_1=0,27,\quad q=0,01$$
$$0,(27)=\frac{0,27}{1-0,01}=\frac{0,27}{0,99}=\frac{3}{11}$$
е) $$0,(45)=0,45+0,0045+0,000045+\dots$$
$$b_1=0,45,\quad q=0,01$$
$$0,(45)=\frac{0,45}{1-0,01}=\frac{0,45}{0,99}=\frac{5}{11}$$
ж) $$0,(123)=0,123+0,000123+0,000000123+\dots$$
$$b_1=0,123,\quad q=0,001$$
$$0,(123)=\frac{0,123}{1-0,001}=\frac{0,123}{0,999}=\frac{41}{333}$$
з) $$0,(456)=0,456+0,000456+0,000000456+\dots$$
$$b_1=0,456,\quad q=0,001$$
$$0,(456)=\frac{0,456}{1-0,001}=\frac{0,456}{0,999}=\frac{152}{333}$$
и) $$0,(1999)=0,1999+0,00001999+0,000000001999+\dots$$
$$b_1=0,1999,\quad q=0,0001$$
$$0,(1999)=\frac{0,1999}{1-0,0001}=\frac{0,1999}{0,9999}=\frac{1999}{9999}$$
к) $$0,5(7)=0,5+0,07+0,007+\dots$$
Сначала выделим целую и непериодическую часть:
$$0,5(7)=\frac{5}{10}+\frac{7}{90}=\frac{45}{90}+\frac{7}{90}=\frac{52}{90}=\frac{26}{45}$$
л) $$0,23(8)=0,23+0,008+0,0008+\dots$$
$$0,23(8)=\frac{23}{100}+\frac{8}{900}=\frac{207}{900}+\frac{8}{900}=\frac{215}{900}=\frac{43}{180}$$
м) $$0,2(38)=0,2+0,038+0,00038+\dots$$
$$0,2(38)=\frac{2}{10}+\frac{38}{990}=\frac{198}{990}+\frac{38}{990}=\frac{236}{990}=\frac{118}{495}$$
Ответ
а) $$\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{8}{9}$$; в) $$\frac{5}{9}$$; г) $$\frac{13}{99}$$; д) $$\frac{3}{11}$$; е) $$\frac{5}{11}$$; ж) $$\frac{41}{333}$$; з) $$\frac{152}{333}$$; и) $$\frac{1999}{9999}$$; к) $$\frac{26}{45}$$; л) $$\frac{43}{180}$$; м) $$\frac{118}{495}$$.
