Упр.497 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) Придумайте пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая не является убывающей последовательностью.

а) Геометрическую прогрессию $$a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$$ называют бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы:

$$|q| < 1.$$

б) Пример такой прогрессии:

$$3,\,-1,\,\frac13,\,-\frac19,\,\frac1{27},\ldots$$

Её можно задать формулой:

$$a_n=3\cdot\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$

Здесь $$|q|=\left|-\frac13\right|=\frac13<1,$$ значит, прогрессия бесконечно убывающая. При этом её члены не образуют убывающую последовательность, так как знаки чередуются.

Ответ

а) Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой $$|q|<1$$.

б) Например, $$3,\,-1,\,\frac13,\,-\frac19,\,\frac1{27},\ldots$$ или $$a_n=3\cdot\left(-\frac13\right)^{n-1}.$$