Упр.496 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 496. Сумма первых десяти членов геометрической прогрессии равна 64, произведение первого и десятого членов равно 16. Найдите сумму чисел, обратных этим десяти членам геометрической прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии через $$a_1$$, а знаменатель — через $$q$$. Тогда

$$a_{10}=a_1q^9.$$

По условию

$$a_1\cdot a_{10}=16,$$

значит

$$a_1^2q^9=16.$$

Сумма чисел, обратных данным десяти членам прогрессии, равна

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_{10}}.$$

Так как $$a_k=a_1q^{k-1}$$, то

$$\frac1{a_1}+\frac1{a_1q}+\frac1{a_1q^2}+\cdots+\frac1{a_1q^9}.$$

Вынесем $$\frac1{a_1q^9}$$:

$$\frac1{a_1q^9}\left(1+q+q^2+\cdots+q^9\right).$$

Но

$$a_1q^9=a_{10},$$

поэтому

$$\frac1{a_1q^9}\left(1+q+q^2+\cdots+q^9\right)=\frac{1}{a_1q^9}\cdot \frac{q^{10}-1}{q-1}.$$

С другой стороны, сумма первых десяти членов прогрессии равна

$$S_{10}=a_1(1+q+q^2+\cdots+q^9)=64.$$

Умножим это равенство на $$\frac1{a_1q^9}$$:

$$\frac1{a_1q^9}\left(a_1+a_1q+\cdots+a_1q^9\right)=\frac{64}{a_1q^9}.$$

Левая часть — это сумма обратных членов, а так как $$a_1q^9=a_{10}$$ и $$a_1a_{10}=16$$, получаем

$$\frac{64}{a_1q^9}=\frac{64}{16}=4.$$

Ответ

$$4$$