Упр.495 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) разность между вторым и первым членами прогрессии равна 4, а между четвёртым и третьим равна 16;
б) разность между вторым и первым членами прогрессии равна 3, а сумма трёх её первых членов равна 21;
в) сумма трёх первых членов прогрессии равна 111, а куб её знаменателя равен 4.

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии при $$q \ne 1$$:

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}.$$

1. а) $$a_2-a_1=4,\quad a_4-a_3=16.$$

   Так как $$a_2=a_1q,\ a_3=a_1q^2,\ a_4=a_1q^3,$$ получаем:

   $$a_1(q-1)=4,$$

   $$a_1q^2(q-1)=16.$$

   Делим второе уравнение на первое:

   $$q^2=4,\quad q=\pm 2.$$

   Если $$q=2,$$ то

   $$a_1(2-1)=4,\quad a_1=4,$$

   $$S_6=\frac{4(1-2^6)}{1-2}=4\cdot 63=252.$$

   Если $$q=-2,$$ то

   $$a_1(-2-1)=4,\quad a_1=-\frac{4}{3},$$

   $$S_6=\frac{-\frac{4}{3}\bigl(1-(-2)^6\bigr)}{1-(-2)}=\frac{-\frac{4}{3}(1-64)}{3}=28.$$

2. б) $$a_2-a_1=3,\quad a_1+a_2+a_3=21.$$

   Тогда

   $$a_1(q-1)=3,$$

   $$a_1(1+q+q^2)=21.$$

   Подставим $$a_1=\frac{3}{q-1}:$$

   $$\frac{3(1+q+q^2)}{q-1}=21,$$

   $$3(1+q+q^2)=21(q-1),$$

   $$q^2-6q+8=0,$$

   $$q=2 \text{ или } q=4.$$

   Если $$q=2,$$ то

   $$a_1=\frac{3}{2-1}=3,$$

   $$S_6=\frac{3(1-2^6)}{1-2}=3\cdot 63=189.$$

   Если $$q=4,$$ то

   $$a_1=\frac{3}{4-1}=1,$$

   $$S_6=\frac{1(1-4^6)}{1-4}=1365.$$

3. в) $$a_1+a_2+a_3=111,\quad q^3=4.$$

   Следовательно,

   $$q=\sqrt[3]{4}.$$

   Тогда

   $$a_1(1+q+q^2)=111,$$

   $$a_1\bigl(1+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}\bigr)=111.$$

   Заметим, что $$q^3=4,$$ значит

   $$1+q+q^2=\frac{1-q^3}{1-q}=\frac{1-4}{1-\sqrt[3]{4}}.$$

   Удобнее сразу найти сумму шести членов:

   $$S_6=\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}.$$

   Из условия $$a_1(1+q+q^2)=111$$ и $$q^3=4$$ получаем

   $$S_6=111\cdot \frac{1-q^6}{1+q+q^2}.$$

   Так как $$q^6=(q^3)^2=16,$$ то

   $$S_6=111\cdot \frac{1-16}{1+q+q^2}=555.$$

Ответ

а) $$28$$; б) $$189$$ и $$1365$$; в) $$555$$.