Упр.490 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) a1=5,q=2
б) a1=4,q=-3
в) a1=-2,q=1/2
г) a1=-1/3,q=-2
д) a1=-2,a3=8
е) a3=2,a1=1

Сумма первых n членов геометрической прогрессии при $$q \ne 1$$ вычисляется по формуле

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}.$$

1. $$a_1=5,\ q=2$$

   $$S_5=\frac{5(1-2^5)}{1-2}=\frac{5(1-32)}{-1}=155.$$

2. $$a_1=4,\ q=-3$$

   $$S_5=\frac{4\bigl(1-(-3)^5\bigr)}{1-(-3)}=\frac{4(1+243)}{4}=244.$$

3. $$a_1=-2,\ q=\frac12$$

   $$S_5=\frac{-2\left(1-\left(\frac12\right)^5\right)}{1-\frac12} =\frac{-2\left(1-\frac1{32}\right)}{\frac12} =-2\cdot\frac{31}{32}\cdot 2 =-\frac{31}{8}=-3\frac78.$$

4. $$a_1=-\frac13,\ q=-2$$

   $$S_5=\frac{-\frac13\bigl(1-(-2)^5\bigr)}{1-(-2)} =\frac{-\frac13(1+32)}{3} =-\frac{33}{9} =-\frac{11}{3} =-3\frac23.$$

5. $$a_2=-2,\ a_3=8$$

   Найдём знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{8}{-2}=-4.$$

   Тогда

   $$a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{-2}{-4}=\frac12.$$

   Теперь вычислим сумму:

   $$S_5=\frac{\frac12\bigl(1-(-4)^5\bigr)}{1-(-4)} =\frac{\frac12(1+1024)}{5} =\frac{1025}{10} =102{,}5.$$

6. $$a_3=2,\ a_1=1$$

   Из формулы $$a_3=a_1q^2$$ получаем:

   $$2=1\cdot q^2,\quad q^2=2,\quad q=\pm\sqrt2.$$

   Если $$q=\sqrt2$$, то

   $$S_5=\frac{1-(\sqrt2)^5}{1-\sqrt2} =\frac{1-4\sqrt2}{1-\sqrt2} =7+3\sqrt2.$$

   Если $$q=-\sqrt2$$, то

   $$S_5=\frac{1-(-\sqrt2)^5}{1-(-\sqrt2)} =\frac{1+4\sqrt2}{1+\sqrt2} =7-3\sqrt2.$$

Ответ

а) $$155$$; б) $$244$$; в) $$-3\frac78$$; г) $$-3\frac23$$; д) $$102{,}5$$; е) $$7-3\sqrt2$$ или $$7+3\sqrt2$$.