Упр.486 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Определите, возрастает или убывает геометрическая прогрессия $$\{a_n\}$$: а) если $$a_1<0$$, $$q>1$$; б) если $$a_1<0$$, $$0

Используем формулу геометрической прогрессии:

$$a_n=a_1q^{\,n-1}$$

Найдём разность соседних членов:

$$a_{n+1}-a_n=a_1q^n-a_1q^{\,n-1}=a_1q^{\,n-1}(q-1)$$

а) Если $$a_1<0$$ и $$q>1$$, то $$q^{\,n-1}>0$$, $$q-1>0$$, значит

$$a_1q^{\,n-1}(q-1)<0.$$

Следовательно, $$a_{n+1}<a_n$$, то есть прогрессия убывает. Так как все её члены отрицательны и убывают, она ограничена сверху.

б) Если $$a_1<0$$ и $$0<q<1$$, то $$q^{\,n-1}>0$$, $$q-1<0$$, значит

$$a_1q^{\,n-1}(q-1)>0.$$

Следовательно, $$a_{n+1}>a_n$$, то есть прогрессия возрастает. Так как все её члены отрицательны и возрастают, она ограничена снизу.

Ответ

а) убывает, ограничена сверху;
б) возрастает, ограничена снизу.