Упр.484 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (b9+b10)/(b7+b9 )=(b11+b12)/(b9+b11)
б) (b5+b6+b7)/(b8+b9+b10)=(b11+b12+b13)/(b14+b15+b16)

Пусть $$\{b_n\}$$ — геометрическая прогрессия с знаменателем $$q$$. Тогда

$$b_n=b_1q^{n-1}.$$

1. Докажем равенство

   $$\frac{b_9+b_{10}}{b_7+b_9}=\frac{b_{11}+b_{12}}{b_9+b_{11}}.$$

   Подставим общий член прогрессии:

   $$ \frac{b_1q^8+b_1q^9}{b_1q^6+b_1q^8} = \frac{b_1q^{10}+b_1q^{11}}{b_1q^8+b_1q^{10}} $$

   Сократим на $$b_1$$ и вынесем общие множители:

   $$ \frac{q^8(1+q)}{q^6(1+q^2)} = \frac{q^{10}(1+q)}{q^8(1+q^2)} $$

   После сокращения получаем:

   $$ \frac{q^2(1+q)}{1+q^2} = \frac{q^2(1+q)}{1+q^2}. $$

   Что и требовалось доказать.

2. Докажем равенство

   $$\frac{b_5+b_6+b_7}{b_8+b_9+b_{10}}=\frac{b_{11}+b_{12}+b_{13}}{b_{14}+b_{15}+b_{16}}.$$

   Подставим общий член прогрессии:

   $$ \frac{b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6}{b_1q^7+b_1q^8+b_1q^9} = \frac{b_1q^{10}+b_1q^{11}+b_1q^{12}}{b_1q^{13}+b_1q^{14}+b_1q^{15}} $$

   Сократим на $$b_1$$ и вынесем общие множители:

   $$ \frac{q^4(1+q+q^2)}{q^7(1+q+q^2)} = \frac{q^{10}(1+q+q^2)}{q^{13}(1+q+q^2)} $$

   После сокращения получаем:

   $$ \frac{1}{q^3}=\frac{1}{q^3}. $$

   Что и требовалось доказать.

Ответ

Оба равенства верны для любой геометрической прогрессии.