Упр.483 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) а4 — а2 = 18 и а5 — а3 = 36; б) a1 + a4 = 30, а2 + a3 = 10.

а) Для геометрической прогрессии $$a_n=a_1q^{n-1}$$ имеем:

$$a_4-a_2=a_1q^3-a_1q=a_1q(q^2-1)=18,$$
$$a_5-a_3=a_1q^4-a_1q^2=a_1q^2(q^2-1)=36.$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{a_1q^2(q^2-1)}{a_1q(q^2-1)}= \frac{36}{18},$$
$$q=2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$a_1\cdot 2\cdot (2^2-1)=18,$$
$$6a_1=18,$$
$$a_1=3.$$

б) Составим уравнения:

$$a_1+a_4=30 \Rightarrow a_1+a_1q^3=30,$$
$$a_2+a_3=10 \Rightarrow a_1q+a_1q^2=10.$$

Вынесем общий множитель:

$$a_1(1+q^3)=30,$$
$$a_1q(1+q)=10.$$

Так как $$1+q^3=(1+q)(1-q+q^2),$$ получаем:

$$a_1(1+q)(1-q+q^2)=30.$$

Подставим $$a_1(1+q)=\frac{10}{q}$$ из второго уравнения:

$$\frac{10}{q}(1-q+q^2)=30,$$
$$1-q+q^2=3q,$$
$$q^2-4q+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=16-4=12,$$
$$q=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}.$$

Найдём $$a_1$$ по формуле $$a_1=\frac{10}{q(1+q)}$$:

$$a_1=\frac{10}{(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{10}{9+5\sqrt{3}},$$
$$a_1=\frac{10}{(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}=\frac{10}{9-5\sqrt{3}}.$$

Ответ

а) $$a_1=3,\ q=2$$;
б) $$q=2+\sqrt{3},\ a_1=\frac{10}{9+5\sqrt{3}}$$ или $$q=2-\sqrt{3},\ a_1=\frac{10}{9-5\sqrt{3}}$$.