Упр.474 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 474. В арифметической прогрессии сумма первых m членов равна сумме первых n членов (m не равно n). Докажите, что сумма первых (m+n) членов равна нулю.

Для арифметической прогрессии сумма первых $$k$$ членов равна

$$S_k=\frac{2a_1+(k-1)d}{2}\cdot k.$$

По условию

$$S_m=S_n,\quad m\ne n.$$

Тогда

$$\frac{2a_1+(m-1)d}{2}\cdot m=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

Умножим на $$2$$:

$$\left(2a_1+(m-1)d\right)m=\left(2a_1+(n-1)d\right)n.$$

Раскроем скобки:

$$2a_1m+dm^2-dm=2a_1n+dn^2-dn.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2a_1(m-n)+d(m^2-n^2)-d(m-n)=0.$$

Так как $$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$$, получаем

$$2a_1(m-n)+d(m-n)(m+n)-d(m-n)=0.$$

Вынесем $$m-n$$ за скобки:

$$ (m-n)\bigl(2a_1+d(m+n)-d\bigr)=0.$$

Так как $$m\ne n$$, то $$m-n\ne 0$$, значит

$$2a_1+d(m+n)-d=0,$$

откуда

$$2a_1+d(m+n-1)=0.$$

Теперь найдём сумму первых $$m+n$$ членов:

$$S_{m+n}=\frac{2a_1+d(m+n-1)}{2}\cdot (m+n).$$

Но $$2a_1+d(m+n-1)=0$$, значит

$$S_{m+n}=0.$$

Ответ

$$S_{m+n}=0.$$