Упр.470 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что для любой арифметической прогрессии $$\{a_n\}$$ справедлива формула $$S_{2n-1}=a_n(2n-1)$$.

Для суммы первых $$m$$ членов арифметической прогрессии используем формулу:

$$S_m=\frac{m}{2}\bigl(2a_1+(m-1)d\bigr).$$

Положим $$m=2n-1$$. Тогда

$$S_{2n-1}=\frac{2n-1}{2}\bigl(2a_1+(2n-2)d\bigr).$$

Вынесем $$2$$ из скобок:

$$S_{2n-1}=\frac{2n-1}{2}\cdot 2\bigl(a_1+(n-1)d\bigr).$$

Сократим на $$2$$:

$$S_{2n-1}=(2n-1)\bigl(a_1+(n-1)d\bigr).$$

Но $$a_n=a_1+(n-1)d$$, значит

$$S_{2n-1}=a_n(2n-1).$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$S_{2n-1}=a_n(2n-1).$$