Упр.465 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) делящихся на 3;
б) делящихся на 4;
в) делящихся и на 3, и на 4;
г) не делящихся ни на 3, ни на 4.

Двузначные числа образуют арифметическую прогрессию от $$10$$ до $$99$$.

1. Сумма всех двузначных чисел, делящихся на $$3$$:

   $$12, 15, 18, \dots, 99$$

   Это арифметическая прогрессия с $$a_1=12$$, $$d=3$$, $$a_n=99$$.

   Найдём число членов:

   $$99=12+3(n-1)$$

   $$3(n-1)=87$$

   $$n=30$$

   Тогда

   $$S_{30}=\frac{12+99}{2}\cdot 30=1665$$

2. Сумма всех двузначных чисел, делящихся на $$4$$:

   $$12, 16, 20, \dots, 96$$

   Это арифметическая прогрессия с $$a_1=12$$, $$d=4$$, $$a_n=96$$.

   Найдём число членов:

   $$96=12+4(n-1)$$

   $$4(n-1)=84$$

   $$n=22$$

   Тогда

   $$S_{22}=\frac{12+96}{2}\cdot 22=1188$$

3. Сумма всех двузначных чисел, делящихся и на $$3$$, и на $$4$$:

   Это числа, делящиеся на $$12$$:

   $$12, 24, 36, \dots, 96$$

   Здесь $$a_1=12$$, $$d=12$$, $$a_n=96$$.

   Найдём число членов:

   $$96=12+12(n-1)$$

   $$12(n-1)=84$$

   $$n=8$$

   Тогда

   $$S_8=\frac{12+96}{2}\cdot 8=432$$

4. Сумма всех двузначных чисел, не делящихся ни на $$3$$, ни на $$4$$:

   Сначала найдём сумму всех двузначных чисел:

   $$10+11+\dots+99$$

   Это арифметическая прогрессия с $$a_1=10$$, $$a_n=99$$, $$n=90$$.

   $$S_{90}=\frac{10+99}{2}\cdot 90=4905$$

   Теперь вычтем суммы чисел, делящихся на $$3$$ и на $$4$$, и прибавим сумму чисел, делящихся и на $$3$$, и на $$4$$, чтобы не вычесть их дважды:

   $$4905-(1665+1188-432)=4905-2421=2484$$

Ответ

а) $$1665$$; б) $$1188$$; в) $$432$$; г) $$2484$$.