Упр.437 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) an=(3n+5)/(2n-1)
б) bn=(2n+1)/(3n-5 )
в) xn=(3n-5)/(2n-1)
г) yn=(2n+1)/(3n+5 )
Является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной?

Подробный ответ

а) $$a_n=\frac{3n+5}{2n-1}$$
Найдём разность:
$$ a_{n+1}=\frac{3(n+1)+5}{2(n+1)-1}=\frac{3n+8}{2n+1} $$
$$ a_{n+1}-a_n=\frac{3n+8}{2n+1}-\frac{3n+5}{2n-1} =\frac{(3n+8)(2n-1)-(3n+5)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} =-\frac{13}{(2n+1)(2n-1)}<0 $$
Значит, последовательность убывает.
Кроме того,
$$ a_n=\frac{3n+5}{2n-1}= \frac32+\frac{13}{2(2n-1)} $$
поэтому $$a_n>\frac32$$ и $$a_n<8$$. Следовательно, последовательность ограничена.
б) $$b_n=\frac{2n+1}{3n-5}$$
$$ b_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{3(n+1)-5}=\frac{2n+3}{3n-2} $$
$$ b_{n+1}-b_n=\frac{2n+3}{3n-2}-\frac{2n+1}{3n-5} =\frac{(2n+3)(3n-5)-(2n+1)(3n-2)}{(3n-2)(3n-5)} =-\frac{13}{(3n-2)(3n-5)}<0 $$
Значит, последовательность убывает.
При $$n\ge 2$$ имеем $$3n-5>0$$, и
$$ b_n=\frac{2n+1}{3n-5}<1 $$
Также последовательность положительна, значит она ограничена.
в) $$x_n=\frac{3n-5}{2n-1}$$
$$ x_{n+1}=\frac{3(n+1)-5}{2(n+1)-1}=\frac{3n-2}{2n+1} $$
$$ x_{n+1}-x_n=\frac{3n-2}{2n+1}-\frac{3n-5}{2n-1} =\frac{(3n-2)(2n-1)-(3n-5)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} =\frac{7}{(2n+1)(2n-1)}>0 $$
Следовательно, последовательность возрастает.
Кроме того,
$$ x_n=\frac{3n-5}{2n-1}=\frac32-\frac{7}{2(2n-1)} $$
поэтому $$x_n<\frac32$$ и $$x_n>-2$$. Значит, последовательность ограничена.
г) $$y_n=\frac{2n+1}{3n+5}$$
$$ y_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{3(n+1)+5}=\frac{2n+3}{3n+8} $$
$$ y_{n+1}-y_n=\frac{2n+3}{3n+8}-\frac{2n+1}{3n+5} =\frac{(2n+3)(3n+5)-(2n+1)(3n+8)}{(3n+8)(3n+5)} =\frac{7}{(3n+8)(3n+5)}>0 $$
Следовательно, последовательность возрастает.
Также
$$ y_n=\frac{2n+1}{3n+5}<1 $$
и $$y_n>0$$, значит последовательность ограничена.