Упр.437 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Последовательность задана формулой n-го члена: а) $$a_n=\frac{3n+5}{2n-1}$$; б) $$b_n=\frac{2n+1}{3n-5}$$; в) $$x_n=\frac{3n-5}{2n-1}$$; г) $$y_n=\frac{2n+1}{3n+5}$$. Является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной?

1. а) $$a_n=\frac{3n+5}{2n-1}$$

   Найдём разность:

   $$a_{n+1}=\frac{3(n+1)+5}{2(n+1)-1}=\frac{3n+8}{2n+1}$$
   $$a_{n+1}-a_n=\frac{3n+8}{2n+1}-\frac{3n+5}{2n-1} =\frac{(3n+8)(2n-1)-(3n+5)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} =-\frac{13}{(2n+1)(2n-1)}<0$$

   Значит, последовательность убывает.

   Кроме того,

   $$a_n=\frac{3n+5}{2n-1}= \frac32+\frac{13}{2(2n-1)}$$

   поэтому $$a_n>\frac32$$ и $$a_n<8$$. Следовательно, последовательность ограничена.

2. б) $$b_n=\frac{2n+1}{3n-5}$$

   $$b_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{3(n+1)-5}=\frac{2n+3}{3n-2}$$
   $$b_{n+1}-b_n=\frac{2n+3}{3n-2}-\frac{2n+1}{3n-5} =\frac{(2n+3)(3n-5)-(2n+1)(3n-2)}{(3n-2)(3n-5)} =-\frac{13}{(3n-2)(3n-5)}<0$$

   Значит, последовательность убывает.

   При $$n\ge 2$$ имеем $$3n-5>0$$, и

   $$b_n=\frac{2n+1}{3n-5}<1$$

   Также последовательность положительна, значит она ограничена.

3. в) $$x_n=\frac{3n-5}{2n-1}$$

   $$x_{n+1}=\frac{3(n+1)-5}{2(n+1)-1}=\frac{3n-2}{2n+1}$$
   $$x_{n+1}-x_n=\frac{3n-2}{2n+1}-\frac{3n-5}{2n-1} =\frac{(3n-2)(2n-1)-(3n-5)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} =\frac{7}{(2n+1)(2n-1)}>0$$

   Следовательно, последовательность возрастает.

   Кроме того,

   $$x_n=\frac{3n-5}{2n-1}=\frac32-\frac{7}{2(2n-1)}$$

   поэтому $$x_n<\frac32$$ и $$x_n>-2$$. Значит, последовательность ограничена.

4. г) $$y_n=\frac{2n+1}{3n+5}$$

   $$y_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{3(n+1)+5}=\frac{2n+3}{3n+8}$$
   $$y_{n+1}-y_n=\frac{2n+3}{3n+8}-\frac{2n+1}{3n+5} =\frac{(2n+3)(3n+5)-(2n+1)(3n+8)}{(3n+8)(3n+5)} =\frac{7}{(3n+8)(3n+5)}>0$$

   Следовательно, последовательность возрастает.

   Также

   $$y_n=\frac{2n+1}{3n+5}<1$$

   и $$y_n>0$$, значит последовательность ограничена.

Ответ

а) убывает, ограничена; б) убывает, ограничена; в) возрастает, ограничена; г) возрастает, ограничена.