Упр.436 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) an=(n+1)/n
б) bn=(2n+5)/(2n+3 )
в) xn=(3n+4)/(4n+1)
г) yn=(4n-1)/(3n-2 )
Докажите, что последовательность является убывающей и ограниченной.

1. а) $$a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$

   Так как $$\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$$, то $$a_{n+1}<a_n$$, значит последовательность убывает.

   Кроме того, при $$n\ge 1$$

   $$1<a_n\le 2$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

2. б) $$b_n=\frac{2n+5}{2n+3}=1+\frac{2}{2n+3}$$

   Тогда

   $$b_{n+1}=1+\frac{2}{2n+5}$$

   Так как $$\frac{2}{2n+5}<\frac{2}{2n+3}$$, то $$b_{n+1}<b_n$$, значит последовательность убывает.

   При $$n\ge 1$$ имеем

   $$1<b_n<2$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

3. в) $$x_n=\frac{3n+4}{4n+1}=\frac34+\frac{13}{4(4n+1)}$$

   Тогда

   $$x_{n+1}=\frac34+\frac{13}{4(4n+5)}$$

   Так как $$\frac{13}{4n+5}<\frac{13}{4n+1}$$, то $$x_{n+1}<x_n$$, значит последовательность убывает.

   Кроме того,

   $$\frac34<x_n<\frac74$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

4. г) $$y_n=\frac{4n-1}{3n-2}=\frac43+\frac{5}{3(3n-2)}$$

   Тогда

   $$y_{n+1}=\frac43+\frac{5}{3(3n+1)}$$

   Так как $$\frac{5}{3n+1}<\frac{5}{3n-2}$$, то $$y_{n+1}<y_n$$, значит последовательность убывает.

   При $$n\ge 1$$ имеем

   $$\frac43<y_n<3$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

Ответ

Во всех пунктах последовательности убывающие и ограниченные.