Упр.435 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) an=(n-1)/n
б) bn=(2n+3)/(2n+5 )
в) xn=(3n+5)/(4n+7)
г) yn=(4n-3)/(2n-1 )
Докажите, что последовательность является возрастающей и ограниченной.

1. $$a_n=\frac{n-1}{n}=1-\frac1n$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=1-\frac1{n+1}$$

   Так как $$\frac1{n+1}<\frac1n$$, то

   $$a_{n+1}>a_n$$

   Следовательно, последовательность возрастающая.

   Кроме того,

   $$0\le a_n<1$$

   Значит, последовательность ограничена.

2. $$b_n=\frac{2n+3}{2n+5}=1-\frac2{2n+5}$$

   Тогда

   $$b_{n+1}=1-\frac2{2n+7}$$

   Так как $$\frac2{2n+7}<\frac2{2n+5}$$, то

   $$b_{n+1}>b_n$$

   Следовательно, последовательность возрастающая.

   Кроме того,

   $$0<b_n<1$$

   Значит, последовательность ограничена.

3. $$x_n=\frac{3n+5}{4n+7}=\frac34-\frac1{4(4n+7)}$$

   Тогда

   $$x_{n+1}=\frac34-\frac1{4(4n+11)}$$

   Так как $$\frac1{4(4n+11)}<\frac1{4(4n+7)}$$, то

   $$x_{n+1}>x_n$$

   Следовательно, последовательность возрастающая.

   Кроме того,

   $$\frac34<x_n<\frac12$$

   То есть

   $$\frac34-\frac1{4(4n+7)}<\frac34$$

   и

   $$x_n<1$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

4. $$y_n=\frac{4n-3}{2n-1}=2-\frac1{2n-1}$$

   Тогда

   $$y_{n+1}=2-\frac1{2n+1}$$

   Так как $$\frac1{2n+1}<\frac1{2n-1}$$, то

   $$y_{n+1}>y_n$$

   Следовательно, последовательность возрастающая.

   Кроме того,

   $$1<y_n<2$$

   Значит, последовательность ограничена.

Ответ

Все четыре последовательности возрастающие и ограниченные.