Упр.433 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что последовательность десятичных приближений числа $$\pi$$ с недостатком $$3; \ 3{,}1; \ 3{,}14; \ 3{,}141; \ \ldots$$ является ограниченной.

Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа $$\pi$$ с недостатком:

$$3;\ 3{,}1;\ 3{,}14;\ 3{,}141;\ \ldots$$

Каждый следующий член получается добавлением новой цифры в десятичную запись числа $$\pi$$, поэтому все члены этой последовательности меньше самого числа $$\pi$$:

$$a_n < \pi.$$

С другой стороны, все эти приближения не меньше первого члена:

$$a_n \ge 3.$$

Значит, для всех членов последовательности выполняется двойное неравенство:

$$3 \le a_n < \pi.$$

Так как $$\pi < 4$$, то последовательность ограничена сверху числом $$4$$, а снизу числом $$3$$. Следовательно, она является ограниченной.

Ответ

Последовательность ограничена: $$3 \le a_n < \pi$$, значит, она ограничена снизу числом $$3$$ и сверху числом $$4$$.