Упр.424 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Исследуем. Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых последовательность, заданная формулой общего члена $$y_n=n^2-20n+100-a$$, имеет:
- единственный отрицательный член;
- ровно пять отрицательных членов;
- ровно двадцать отрицательных членов.
Преобразуем общий член последовательности:
$$y_n=n^2-20n+100-a=(n-10)^2-a.$$
Отрицательные члены получаются из неравенства
$$(n-10)^2-a<0 \quad \Longleftrightarrow \quad (n-10)^2<a.$$
Так как $$n$$ — натуральное число, то нужно посчитать, сколько целых значений $$n$$ удовлетворяют этому неравенству.
а) Единственный отрицательный член.
Нужно, чтобы только при $$n=10$$ выполнялось $$(n-10)^2<a$$.
Тогда
$$0<a\le 1.$$
б) Ровно пять отрицательных членов.
Это члены при $$n=8,9,10,11,12$$.
Значит, должно быть
$$2<\sqrt a\le 3,$$
откуда
$$4<a\le 9.$$
в) Ровно двадцать отрицательных членов.
Это члены при $$n=1,2,\dots,20$$.
Тогда
$$10<\sqrt a\le 11,$$
следовательно,
$$100<a\le 121.$$
Ответ
а) $$a\in(0;1]$$
б) $$a\in(4;9]$$
в) $$a\in(100;121]$$
