Упр.422 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Сколько отрицательных членов имеет последовательность, заданная формулой общего члена:
   а) $$a_n=n^2-12n+27$$;
   б) $$a_n=n^2-20n+75$$?

а) Найдём, при каких значениях $$n$$ выполняется неравенство

$$n^2-12n+27<0.$$

Решим квадратное уравнение $$n^2-12n+27=0$$:

$$D=(-12)^2-4\cdot 1\cdot 27=144-108=36.$$

$$n_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{36}}{2}=\frac{12\pm 6}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=3,\quad n_2=9.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$n^2-12n+27<0 \quad \text{при} \quad 3<n<9.$$

Для натуральных $$n$$ это значения $$n=4,5,6,7,8$$, то есть отрицательных членов 5.

б) Найдём, при каких значениях $$n$$ выполняется неравенство

$$n^2-20n+75<0.$$

Решим квадратное уравнение $$n^2-20n+75=0$$:

$$D=(-20)^2-4\cdot 1\cdot 75=400-300=100.$$

$$n_{1,2}=\frac{20\pm \sqrt{100}}{2}=\frac{20\pm 10}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=5,\quad n_2=15.$$

Следовательно,

$$n^2-20n+75<0 \quad \text{при} \quad 5<n<15.$$

Для натуральных $$n$$ это значения $$n=6,7,8,9,10,11,12,13,14$$, то есть отрицательных членов 9.

Ответ

а) 5; б) 9.