Упр.406 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (2/5)^(5/8) и (2/5)^(3/4)
б) корень 8 степени из 2^5/корень шестой степени из 2 и корень четвертой степени из 2^7/корень третьей степени из 2^4
в) корень 15 степени из 3^10/корень десятой степени из 3^3 и корень 14 степени из3^2 /корень 9 степени из 3^2.
г) (1/5)^(1/6) и (1/6)^(1/5).

1. Сравним числа $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{8}}$$ и $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}}.$$

   Так как $$0<\frac{2}{5}<1,$$ то при большем показателе степень меньше. Сравним показатели:

   $$\frac{5}{8}<\frac{3}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{8}} > \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}}.$$

2. Сравним $$\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}$$ и $$\frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}.$$

   Представим в виде степеней с основанием $$2$$:

   $$ \frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}}=2^{\frac{5}{8}-\frac{1}{6}}=2^{\frac{15-4}{24}}=2^{\frac{11}{24}}, $$

   $$ \frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}=2^{\frac{7}{4}-\frac{4}{3}}=2^{\frac{21-16}{12}}=2^{\frac{5}{12}}=2^{\frac{10}{24}}. $$

   Так как $$\frac{11}{24}>\frac{10}{24},$$ то

   $$\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}} > \frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}.$$

3. Сравним $$\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}$$ и $$\frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}.$$

   Запишем через степени с основанием $$3$$:

   $$ \frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}}=3^{\frac{10}{15}-\frac{3}{10}}=3^{\frac{20-9}{30}}=3^{\frac{11}{30}}, $$

   $$ \frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}=3^{\frac{2}{14}-\frac{2}{9}}=3^{\frac{9-14}{63}}=3^{-\frac{5}{63}}. $$

   Так как $$3^{\frac{11}{30}}>3^{-\frac{5}{63}},$$ то

   $$\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}} > \frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}.$$

4. Сравним $$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}}$$ и $$\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}.$$

   Возведём оба числа в тридцатую степень:

   $$ \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}}\right)^{30}=\left(\frac{1}{5}\right)^5=\frac{1}{5^5}, $$

   $$ \left(\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right)^{30}=\left(\frac{1}{6}\right)^6=\frac{1}{6^6}. $$

   Так как $$5^5<6^6,$$ то

   $$\frac{1}{5^5}>\frac{1}{6^6}.$$

   Следовательно,

   $$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}} > \left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{5}{8}} > \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{3}{4}}$$; б) $$\frac{\sqrt[8]{2^5}}{\sqrt[6]{2}} > \frac{\sqrt[4]{2^7}}{\sqrt[3]{2^4}}$$; в) $$\frac{\sqrt[15]{3^{10}}}{\sqrt[10]{3^3}} > \frac{\sqrt[14]{3^2}}{\sqrt[9]{3^2}}$$; г) $$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{6}} > \left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{5}}$$.