Упр.405 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) 8^(3/2) и (12)^(3/4).
б) корень третьей степени из 12 и v5.
в) (12)^(3/2) и (18)^(2/3).
г) (64)^(4/3) и (36)^(3/2).
а) Сравним $$8^{\frac{3}{2}}$$ и $$12^{\frac{3}{4}}$$. Возведём оба числа в четвёртую степень:
$$\left(8^{\frac{3}{2}}\right)^4=8^6=64^2=4096,$$
$$\left(12^{\frac{3}{4}}\right)^4=12^3=1728.$$Так как $$4096>1728$$, то $$8^{\frac{3}{2}}>12^{\frac{3}{4}}$$.
б) Сравним $$\sqrt[3]{12}$$ и $$\sqrt{5}$$. Возведём оба числа в шестую степень:
$$\left(\sqrt[3]{12}\right)^6=12^2=144,$$
$$\left(\sqrt{5}\right)^6=5^3=125.$$Так как $$144>125$$, то $$\sqrt[3]{12}>\sqrt{5}$$.
в) Сравним $$12^{\frac{3}{2}}$$ и $$18^{\frac{2}{3}}$$. Возведём оба числа в шестую степень:
$$\left(12^{\frac{3}{2}}\right)^6=12^9,$$
$$\left(18^{\frac{2}{3}}\right)^6=18^4.$$Разложим основания на простые множители:
$$12^9=(2^2\cdot 3)^9=2^{18}\cdot 3^9,$$
$$18^4=(2\cdot 3^2)^4=2^4\cdot 3^8.$$Так как $$2^{18}\cdot 3^9>2^4\cdot 3^8$$, то $$12^{\frac{3}{2}}>18^{\frac{2}{3}}$$.
г) Сравним $$64^{\frac{4}{3}}$$ и $$36^{\frac{3}{2}}$$. Возведём оба числа в шестую степень:
$$\left(64^{\frac{4}{3}}\right)^6=64^8=(4^3)^8=4^{24},$$
$$\left(36^{\frac{3}{2}}\right)^6=36^9=(6^2)^9=6^{18}.$$Перепишем через простые множители:
$$4^{24}=(2^2)^{24}=2^{48},$$
$$6^{18}=(2\cdot 3)^{18}=2^{18}\cdot 3^{18}.$$Так как $$2^{48}>2^{18}\cdot 3^{18}$$, то $$64^{\frac{4}{3}}>36^{\frac{3}{2}}$$.
Ответ
а) $$8^{\frac{3}{2}}>12^{\frac{3}{4}}$$; б) $$\sqrt[3]{12}>\sqrt{5}$$; в) $$12^{\frac{3}{2}}>18^{\frac{2}{3}}$$; г) $$64^{\frac{4}{3}}>36^{\frac{3}{2}}$$.
