Упр.404 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Сравните числа (404–406): а) $$15^{1/4}$$ и $$3{,}9^{1/2}$$; б) $$2\cdot3^{1/3}$$ и $$3\cdot2^{1/3}$$; в) $$3\cdot4^{1/3}$$ и $$4\cdot2^{1/3}$$; г) $$\left(2\cdot3^{1/2}\right)^{3/2}$$ и $$\left(3\cdot2^{1/2}\right)^{3/2}$$.

1. Сравним $$15^{\frac14}$$ и $$3{,}9^{\frac12}$$. Возведём оба числа в четвёртую степень:

   $$\left(15^{\frac14}\right)^4=15,$$

   $$\left(3{,}9^{\frac12}\right)^4=3{,}9^2=15{,}21.$$

   Так как $$15<15{,}21,$$ то $$15^{\frac14}<3{,}9^{\frac12}.$$

2. Сравним $$2\cdot 3^{\frac13}$$ и $$3\cdot 2^{\frac13}$$. Возведём оба числа в третью степень:

   $$\left(2\cdot 3^{\frac13}\right)^3=2^3\cdot 3=8\cdot 3=24,$$

   $$\left(3\cdot 2^{\frac13}\right)^3=3^3\cdot 2=27\cdot 2=54.$$

   Так как $$24<54,$$ то $$2\cdot 3^{\frac13}<3\cdot 2^{\frac13}.$$

3. Сравним $$3\cdot 4^{\frac13}$$ и $$4\cdot 2^{\frac13}$$. Возведём оба числа в третью степень:

   $$\left(3\cdot 4^{\frac13}\right)^3=3^3\cdot 4=27\cdot 4=108,$$

   $$\left(4\cdot 2^{\frac13}\right)^3=4^3\cdot 2=64\cdot 2=128.$$

   Так как $$108<128,$$ то $$3\cdot 4^{\frac13}<4\cdot 2^{\frac13}.$$

4. Сравним $$\left(2\cdot 3^{\frac12}\right)^{\frac32}$$ и $$\left(3\cdot 2^{\frac12}\right)^{\frac32}$$. Возведём оба числа в четвёртую степень:

   $$\left(\left(2\cdot 3^{\frac12}\right)^{\frac32}\right)^4=\left(2\cdot 3^{\frac12}\right)^6=2^6\cdot 3^3=64\cdot 27=1728,$$

   $$\left(\left(3\cdot 2^{\frac12}\right)^{\frac32}\right)^4=\left(3\cdot 2^{\frac12}\right)^6=3^6\cdot 2^3=729\cdot 8=5832.$$

   Так как $$1728<5832,$$ то $$\left(2\cdot 3^{\frac12}\right)^{\frac32}<\left(3\cdot 2^{\frac12}\right)^{\frac32}.$$

Ответ

а) $$15^{\frac14}<3{,}9^{\frac12}$$; б) $$2\cdot 3^{\frac13}<3\cdot 2^{\frac13}$$; в) $$3\cdot 4^{\frac13}<4\cdot 2^{\frac13}$$; г) $$\left(2\cdot 3^{\frac12}\right)^{\frac32}<\left(3\cdot 2^{\frac12}\right)^{\frac32}$$.