Упр.402 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а)((a^(1/2)+2)/((a+2a)^(1/2)+1)-(a^(1/2)-2)/(a-1))•(a^(1/2)+1)/a^(1/2)
б) ((x^(1/2)+3y^(1/2))/((x-2x)^(1/2) y^(1/2)+y)+(x^(1/2)-3y^(1/2))/(x-y))•(x^(1/2)-y^(1/2))/2

1. а) Обозначим $$\sqrt{a}=t$$, тогда $$a=t^2$$. Получаем

   $$\left(\frac{t+2}{t^2+2t+1}-\frac{t-2}{t^2-1}\right)\cdot \frac{t+1}{t}.$$

   Так как $$t^2+2t+1=(t+1)^2$$, $$t^2-1=(t-1)(t+1)$$, то

   $$\left(\frac{t+2}{(t+1)^2}-\frac{t-2}{(t-1)(t+1)}\right)\cdot \frac{t+1}{t}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t+1)^2(t-1)}\cdot \frac{t+1}{t} $$

   $$ =\frac{t^2+t-2-(t^2-t-2)}{(t+1)^2(t-1)}\cdot \frac{t+1}{t} =\frac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\cdot \frac{t+1}{t} $$

   $$ =\frac{2}{(t+1)(t-1)}=\frac{2}{t^2-1}=\frac{2}{a-1}. $$

2. б) Обозначим $$\sqrt{x}=u$$, $$\sqrt{y}=v$$. Тогда $$x=u^2$$, $$y=v^2$$, и выражение равно

   $$\left(\frac{u+3v}{u^2-2uv+v^2}+\frac{u-3v}{u^2-v^2}\right)\cdot \frac{u-v}{2}.$$

   Так как $$u^2-2uv+v^2=(u-v)^2$$, $$u^2-v^2=(u-v)(u+v)$$, получаем

   $$ \left(\frac{u+3v}{(u-v)^2}+\frac{u-3v}{(u-v)(u+v)}\right)\cdot \frac{u-v}{2}. $$

   Приведём к общему знаменателю и сократим:

   $$ \frac{(u+3v)(u+v)+(u-3v)(u-v)}{2(u-v)(u+v)} $$

   $$ =\frac{u^2+4uv+3v^2+u^2-4uv+3v^2}{2(u-v)(u+v)} =\frac{2u^2+6v^2}{2(u-v)(u+v)} $$

   $$ =\frac{u^2+3v^2}{(u-v)(u+v)}=\frac{x+3y}{x-y}. $$

Ответ

а) $$\frac{2}{a-1}$$; б) $$\frac{x+3y}{x-y}$$.