Упр.402 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. 402–403. Упростите выражение:
   а) $$\left(\frac{a^{1/2}+2}{(a+2a)^{1/2}+1}-\frac{a^{1/2}-2}{a-1}\right)\cdot\frac{a^{1/2}+1}{a^{1/2}}$$
   б) $$\left(\frac{x^{1/2}+3y^{1/2}}{(x-2x)^{1/2}y^{1/2}+y}+\frac{x^{1/2}-3y^{1/2}}{x-y}\right)\cdot\frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{2}$$

1. а) Обозначим $$\sqrt{a}=t$$, тогда $$a=t^2$$. Получаем

   $$\left(\frac{t+2}{t^2+2t+1}-\frac{t-2}{t^2-1}\right)\cdot \frac{t+1}{t}.$$

   Так как $$t^2+2t+1=(t+1)^2$$, $$t^2-1=(t-1)(t+1)$$, то

   $$\left(\frac{t+2}{(t+1)^2}-\frac{t-2}{(t-1)(t+1)}\right)\cdot \frac{t+1}{t}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t+1)^2(t-1)}\cdot \frac{t+1}{t}$$

   $$=\frac{t^2+t-2-(t^2-t-2)}{(t+1)^2(t-1)}\cdot \frac{t+1}{t} =\frac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\cdot \frac{t+1}{t}$$

   $$=\frac{2}{(t+1)(t-1)}=\frac{2}{t^2-1}=\frac{2}{a-1}.$$

2. б) Обозначим $$\sqrt{x}=u$$, $$\sqrt{y}=v$$. Тогда $$x=u^2$$, $$y=v^2$$, и выражение равно

   $$\left(\frac{u+3v}{u^2-2uv+v^2}+\frac{u-3v}{u^2-v^2}\right)\cdot \frac{u-v}{2}.$$

   Так как $$u^2-2uv+v^2=(u-v)^2$$, $$u^2-v^2=(u-v)(u+v)$$, получаем

   $$\left(\frac{u+3v}{(u-v)^2}+\frac{u-3v}{(u-v)(u+v)}\right)\cdot \frac{u-v}{2}.$$

   Приведём к общему знаменателю и сократим:

   $$\frac{(u+3v)(u+v)+(u-3v)(u-v)}{2(u-v)(u+v)}$$

   $$=\frac{u^2+4uv+3v^2+u^2-4uv+3v^2}{2(u-v)(u+v)} =\frac{2u^2+6v^2}{2(u-v)(u+v)}$$

   $$=\frac{u^2+3v^2}{(u-v)(u+v)}=\frac{x+3y}{x-y}.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{a-1}$$; б) $$\frac{x+3y}{x-y}$$.