Упр.4 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) {(4x-4a > 2ax-5, 6x-2a < 3ax+5); б) {(9x-2a > 3ax-1, 6x-3a < 2ax+2) имеет решения?
а)
Первое неравенство:
$$4x-4a>2ax-5$$
$$4x-2ax>4a-5$$
$$2x(2-a)>4a-5.$$
Второе неравенство:
$$6x-2a<3ax+5$$
$$6x-3ax<2a+5$$
$$3x(2-a)<2a+5.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$a<2$$, то при делении на положительное число $$2-a$$ получаем:
$$x>\frac{4a-5}{2(2-a)}, \qquad x<\frac{2a+5}{3(2-a)}.$$
Чтобы система имела решение, нужно:
$$\frac{4a-5}{2(2-a)}<\frac{2a+5}{3(2-a)}.$$
Так как $$2-a>0$$, умножим на $$6(2-a)$$:
$$3(4a-5)<2(2a+5),$$
$$12a-15<4a+10,$$
$$8a<25,$$
$$a<\frac{25}{8}.$$
С учётом условия $$a<2$$ получаем все $$a<2$$.
Если $$a>2$$, то при делении на отрицательное число $$2-a$$ знаки неравенств меняются:
$$x<\frac{4a-5}{2(2-a)}, \qquad x>\frac{2a+5}{3(2-a)}.$$
Для существования решения нужно:
$$\frac{2a+5}{3(2-a)}<\frac{4a-5}{2(2-a)}.$$
Так как $$2-a<0$$, после умножения на $$6(2-a)$$ знак неравенства меняется:
$$2(2a+5)>3(4a-5),$$
$$4a+10>12a-15,$$
$$25>8a,$$
$$a<\frac{25}{8}.$$
С учётом $$a>2$$ получаем $$2<a<\frac{25}{8}$$.
При $$a=2$$ система принимает вид:
$$0>{?}$$
то есть решений нет.
Итак, для пункта а) система имеет решения при
$$a\in(-\infty;2)\cup\left(2;\frac{25}{8}\right).$$
б)
Первое неравенство:
$$9x-2a>3ax-1$$
$$9x-3ax>2a-1$$
$$3x(3-a)>2a-1.$$
Второе неравенство:
$$6x-3a<2ax+2$$
$$6x-2ax<3a+2$$
$$2x(3-a)<3a+2.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$a<3$$, то:
$$x>\frac{2a-1}{3(3-a)}, \qquad x<\frac{3a+2}{2(3-a)}.$$
Для существования решения нужно:
$$\frac{2a-1}{3(3-a)}<\frac{3a+2}{2(3-a)}.$$
Так как $$3-a>0$$, умножим на $$6(3-a)$$:
$$2(2a-1)<3(3a+2),$$
$$4a-2<9a+6,$$
$$-8<5a,$$
$$a>-\frac{8}{5}.$$
Значит, при $$a<3$$ получаем
$$a\in\left(-\frac{8}{5};3\right).$$
Если $$a>3$$, то:
$$x<\frac{2a-1}{3(3-a)}, \qquad x>\frac{3a+2}{2(3-a)}.$$
Для существования решения нужно:
$$\frac{3a+2}{2(3-a)}<\frac{2a-1}{3(3-a)}.$$
Так как $$3-a<0$$, после умножения на $$6(3-a)$$ знак меняется:
$$3(3a+2)>2(2a-1),$$
$$9a+6>4a-2,$$
$$5a>-8,$$
$$a>-\frac{8}{5}.$$
Это верно при всех $$a>3$$.
При $$a=3$$ получаем противоречие, решений нет.
Итак, для пункта б) система имеет решения при
$$a\in\left(-\frac{8}{5};3\right)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
а) $$a\in(-\infty;2)\cup\left(2;\frac{25}{8}\right)$$; б) $$a\in\left(-\frac{8}{5};3\right)\cup(3;+\infty)$$.
