Упр.389 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

• а) $$v(av(ava))\cdot a^{-\frac{1}{8}}$$
• б) $$v(xv(xv(xvx)))\cdot x^{-\frac{3}{16}}$$

а) $$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}\cdot a^{-\frac18}$$

Представим корни в виде степеней:

$$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\left(a\left(a\cdot a^{\frac12}\right)^{\frac12}\right)^{\frac12}$$

Тогда

$$\left(a\left(a\cdot a^{\frac12}\right)^{\frac12}\right)^{\frac12}\cdot a^{-\frac18} = a^{\frac12}\cdot \left(a^{1+\frac12}\right)^{\frac14}\cdot a^{-\frac18} = a^{\frac12}\cdot a^{\frac38}\cdot a^{-\frac18}$$

$$=a^{\frac12+\frac38-\frac18}=a^{\frac12+\frac28}=a^{\frac34}.$$

б) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}\cdot x^{-\frac{3}{16}}$$

Преобразуем корни в степени:

$$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} =\left(x\left(x\left(x\cdot x^{\frac12}\right)^{\frac12}\right)^{\frac12}\right)^{\frac12}$$

Тогда

$$\left(x\left(x\left(x\cdot x^{\frac12}\right)^{\frac12}\right)^{\frac12}\right)^{\frac12}\cdot x^{-\frac{3}{16}} = x^{\frac12}\cdot x^{\frac14}\cdot x^{\frac{3}{16}}\cdot x^{-\frac{3}{16}}$$

$$=x^{\frac12+\frac14}=x^{\frac{8}{16}+\frac{4}{16}}=x^{\frac{12}{16}}=x^{\frac34}.$$

Ответ

а) $$a^{\frac34}$$; б) $$x^{\frac34}$$.