Упр.383 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Запишите выражение в виде произведения степеней с рациональным показателем:
- а) $$\sqrt{10}\cdot\sqrt[5]{5}\cdot\frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[3]{3^2}}$$; б) $$\sqrt{7^3}\cdot\sqrt[4]{2^3}\cdot\frac{\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[6]{5^5}}$$; в) $$\sqrt{3}:\sqrt[3]{2}\cdot\frac{\sqrt[4]{8^3}}{\sqrt[3]{3}}$$; г) $$\sqrt{8^3}\cdot\sqrt[5]{7^3}:\frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[5]{49^2}}$$.
Представим корни в виде степеней с рациональными показателями и воспользуемся правилом:
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}.$$
а)
$$\sqrt{10}\cdot \sqrt[3]{5}\cdot \frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[3]{2^2}} =10^{\frac12}\cdot 5^{\frac13}\cdot 3^{\frac34}\cdot 2^{-\frac23}$$
$$=(2\cdot 5)^{\frac12}\cdot 5^{\frac13}\cdot 3^{\frac34}\cdot 2^{-\frac23} =2^{\frac12-\frac23}\cdot 5^{\frac12+\frac13}\cdot 3^{\frac34}$$
$$=2^{-\frac16}\cdot 5^{\frac56}\cdot 3^{\frac34}.$$б)
$$\sqrt{7^3}\cdot \sqrt[4]{2^3}\cdot \frac{\sqrt[5]{6^2}}{\sqrt[6]{5^5}} =7^{\frac32}\cdot 2^{\frac34}\cdot 6^{\frac25}\cdot 5^{-\frac56}$$
$$=7^{\frac32}\cdot 2^{\frac34}\cdot (2\cdot 3)^{\frac25}\cdot 5^{-\frac56} =7^{\frac32}\cdot 2^{\frac34+\frac25}\cdot 3^{\frac25}\cdot 5^{-\frac56}$$
$$=7^{\frac32}\cdot 2^{\frac{23}{20}}\cdot 3^{\frac25}\cdot 5^{-\frac56}.$$в)
$$\sqrt{3}:\sqrt[3]{2}\cdot \frac{\sqrt[4]{8^3}}{\sqrt[3]{3}} =3^{\frac12}\cdot 2^{-\frac13}\cdot 8^{\frac34}\cdot 3^{-\frac13}$$
$$=3^{\frac12-\frac13}\cdot 2^{-\frac13}\cdot (2^3)^{\frac34} =3^{\frac16}\cdot 2^{-\frac13+\frac94}$$
$$=3^{\frac16}\cdot 2^{\frac{23}{12}}.$$г)
$$\sqrt{8^3}\cdot \sqrt[5]{7^3}:\frac{\sqrt[3]{4^2}}{\sqrt[5]{49^2}} =8^{\frac32}\cdot 7^{\frac35}\cdot 4^{-\frac23}\cdot 49^{\frac25}$$
$$=(2^3)^{\frac32}\cdot 7^{\frac35}\cdot (2^2)^{-\frac23}\cdot (7^2)^{\frac25} =2^{\frac92-\frac43}\cdot 7^{\frac35+\frac45}$$
$$=2^{\frac{19}{6}}\cdot 7^{\frac75}.$$
Ответ
а) $$2^{-\frac16}\cdot 5^{\frac56}\cdot 3^{\frac34}$$; б) $$7^{\frac32}\cdot 2^{\frac{23}{20}}\cdot 3^{\frac25}\cdot 5^{-\frac56}$$; в) $$3^{\frac16}\cdot 2^{\frac{23}{12}}$$; г) $$2^{\frac{19}{6}}\cdot 7^{\frac75}$$.
