Упр.378 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечное множество корней;
в) не имеет корней?

Преобразуем уравнение:

$$\sqrt[3]{ax}=\sqrt[3]{a}.$$

Так как функция $$y=\sqrt[3]{t}$$ взаимно однозначна, то равенство кубических корней равносильно равенству подкоренных выражений:

$$ax=a.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$a\neq 0$$, то из уравнения $$ax=a$$ получаем

   $$x=1.$$

   Проверка области определения не требуется, так как кубический корень определён при любых значениях подкоренного выражения. Значит, при $$a\neq 0$$ уравнение имеет единственный корень.

2. Если $$a=0$$, то исходное уравнение принимает вид

   $$\sqrt[3]{0\cdot x}=\sqrt[3]{0},$$

   то есть

   $$0=0.$$

   Это верно при любом $$x$$, значит, уравнение имеет бесконечно много корней.

Корней нет быть не может, так как при любом $$a$$ уравнение либо имеет один корень, либо бесконечно много корней.

Ответ

а) $$a\neq 0$$; б) $$a=0$$; в) таких значений $$a$$ нет.